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1、信号与系统 Signals and systems,第七章 Z 变换 Z Transform,7.1 z变换,对任一离散时间信号，定义信号为,其中 为正实数通过选择适当的，可使信号绝对 可加，这样的离散时间 傅立叶变换存在，即,将 代入上式得,(7.1.1),(7.1.2),(7.1.3),令复变量 ,则上式既可看成 实数的函数， 也可看成复数 的函数，用 代替 ，则有,根据离散时间傅氏逆变换，信号 可表示为,(7.1.5),由于 代入上式,并令 ，可得,复数 沿圆心在原点，半径为 的圆，按逆时 针方向绕行一周即关于 的积分是闭合曲线积分，为,(7.1.7),Z变换 ： 逆Z变换 ： 记为 ：
2、 或表示为 ：,(7.1.9),例7.1.1 求信号 和 的z 变换，其中 是复数。,当 时，级数收敛,对,(7.1.10),对,当 时，级数收敛,将两个结果写在一起，有,(7.1.11),(7.1.12),取a=1，可得阶跃信号的Z变换为,(7.1.11),(7.1.12),可见，两个不同的信号有相同的Z变换表达式，不同的仅是Z的取值范围。因此，同拉氏变换一样，Z变换除了表达式，还必须注明Z的取值范围。,7.2 z变换的收敛域,使 收敛的|z|取值范围（或 的取值范围）称为z变换的收敛域（region of convergence），简称为ROC。 我们知道，级数收敛的条件是绝对值可和，因此
3、z平面的收敛域应满足,1. z变换的收敛域,因为对于实数序列， 因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为,Rx-|z|Rx+ 这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。,jImz,Rx+,Rx-,Rez,0,2. z变换的零点和极点,通常情况下，z变换可表示为有理分式的形式,定义方程 的根为 的零点（zeros）。,定义方程 的根为 的极点（poles）。,(7.2.3),3. z变换收敛域的性质,性质
4、1 的收敛域在z平面上是一个以原点为圆心的同心圆环。,性质2 如果 是有理式，则ROC内不包含任 何极点。,a 有限长序列 序列 (序列f(n)只在有限长度n1n2 内有 值，其余为零), 其Z变换 F（z）是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n，n1nn2。 显然 |z| 在整个开域（0，）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是:,0 |z|,主要讨论以下四种序列：,如果对n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，则根据条件|z|-n（n1nn2），收敛域可进一步扩大为包括0点或点的半开域：,例1 求 序列x（n）=（n）的Z
5、变换 由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域 z 平面，0|Z|， 例2 求矩形序列x（n）=RN（n）的Z变换 等比级数求和,性质4 如果 信号是右边序列，且 的z变 换 为有理分式，则 的收敛域为距 原点最远的极点所在圆的圆外z平面。可 表示为 ， 为距原点最远的极 点。,b 右边序列 f（n）只在nn1，有值，而nn1时，f（n）=0 收敛域：|z|Rx- ，为收敛半径Rx-以外的z平面，,右边序列中最重要的一种序列是 “因果序列” ，即n1 0的右边序列，因果序列只在n0有值，n0时，f（n）=0，其z变换为： 收敛域： Z 变换的收敛域包括 点是因果序列的特征。,性质5 如果 信号是
6、左边序列，且 的z变 换 为有理分式，则 的收敛域为距 原点最远的极点所在圆的圆内z平面。可 表示为 ， 为距原点最近的极 点。,c 左边序列 序列 f（n）只在nn2有值，n n2时，x（n）=0 收敛域： |Z|Rx+ ，在收敛半径为Rx+的圆内,性质6 如果 信号是双边序列，且 的z变 换 为有理分式，则 的收敛域为两极 点间圆心在原点的同心圆环或为空集,d 双边序列 可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域的公共部分。,如果Rx+ Rx-，则存在公共的收敛区间，F（z）有收敛域: Rx-|z| Rx- 如果Rx+ Rx-，无公共收
7、敛区间，F（z）无收敛域，不收敛.,4. 离散时间信号的傅氏变换与z变换的关系,条件： 的收敛域包含单位圆,(7.2.15),(7.2.16),例7.2.4 已知信号 的z变换 的表达式为,（1）若 是左边信号，求信号 。,（3）若 傅氏变换存在，求信号 。,（2）若 是右边信号，求信号 。,的零极点图（图中仅画出极点）,（1）因为 是左边信号，则 的收敛域 应为最靠近原点的极点的圆内z平面,整理得,（2）因为 是右边信号，则 的收敛域 应为最远离原点的极点的圆外z平面,整理得,（3）因为 傅氏变换存在，则 的收敛 域应包含单位圆，收敛域为,7.3 z变换的性质,1. 线性,则对任意常数,若有
8、下列z变换对成立,(7.3.1),例7.3.1 求信号 的z变换,解：信号 为双边信号，可表示为,由式(7.1.11)和(7.1.12)可以看出，上式的前后 两项的收敛域交集为空集。故其z变换不存在。,2. 时移特性,证明：,两边用,代替,若,(7.3.4),3. z域尺度变换,为一复数,证明：,(7.3.5),(2)求序列 和 的z变换,(1)求序列 和 的z变换,例7.3.3,解: (1)信号 可表示为,结合z变换的线性和式（7.1.11）,同法可得,(7.3.8),(7.3.9),（2）利用式（7.3.5）的z域尺度变化特性可得,4. 时域反转特性,若,证明：,令,则,(7.3.12),
9、5. 时域展宽特性,若,则,(7.3.15),例7.3.5设信号 ，。令信号 为,求信号 和 的z变换,解:根据式(7.1.11),由时域展宽特性,6. 共轭特性,若,则,证明：,两边取共轭可得,用,代替,可得,(7.3.16),7. 时域卷积特性,若,则,(7.3.18),例7.3.6已知时限离散时间序列 和,求 卷积,解:,根据z变换的时域卷积特性,取逆z变换可得,8. 时域差分与累加特性,若,则,(7.3.19),(7.3.20),例7.3.8 求信号 的z变换,解:信号 可表示为,根据z变换的累加特性,9. z域微分特性,若,则,证明：,(7.3.23),(1) (2),例7.3.11
10、 已知信号 的z变换为 ，收敛 域为 ，求下列信号的z变换。,解 (1)根据时移特性,根据时域反转特性,由z域微分特性,所以,(2)根据时移特性,再由z域微分特性,所以,10. 初值定理和终值定理,（1）若 是右边信号，即当 ， ， 其初值为,（2）若 是右边信号，即当 ， ， 其终值为,(7.3.31),(7.3.33),7.5 逆z变换的计算方法,1. 复变函数积分（留数）法,根据复变函数中的留数定理，包含所有极点 的围线积分，等于围线内各个极点的留数之和,为 的极点,(7.5.1),2. 部分分式分解法,设,，且设,为,的,个极点，则,可表示为,(7.5.2),(7.5.3),令有理分式
11、,为,（1）极点 都是单极点，则,(7.5.5),其中常数 为,变形得 的分解表达式为,(7.5.7),利用,求逆z变换可得信号,(7.5.9),(7.5.10),（2）极点 是 重极点,此时,其中常数 为,(7.5.12),(7.5.15),利用,求逆z变换可得信号,例7.5.1 已知,，,求信号,解：由,的表达式可知，,有一个单极点,，一个二重极点,据表7.4.2的常用变换对,3. 长除法,对有理分式形式的z变换，使用长除法（long division）是将展开成幂级数形式的简便方法,若,对于右边信号，需要按降幂的方式进行长除。,而对于左边信号，式(7-5-18)中包含止于某时刻的z 的正
12、幂次项，因此需按升幂的方式进行长除。,可得到,对比展开式，可得到,7.6 LTI离散时间系统的z域描述,1. LTI离散时间系统函数,一个LTI离散时间系统可用线性常系数差分方程描述为,对上式两边取z变换，并利用z变换的时移特性和线 性可得,(7.6.2),定义LTI离散时间系统的系统函数为,对上式移项得,(7.6.3),联系到系统响应的卷积关系,根据z变换的时域卷积特性可得结论,(7.6.5),(7.6.6),系统函数可表示为,定义系统的零点为方程 的根,定义系统的极点为方程 的根,在z平面上标注出的零极点，称为系统的零极点图,(7.6.9),LTI离散时间系统的差分方程、系统函数、系统零极
13、 点图、冲激响应在描述系统时等价，且可相互求出， 关系如图,2. 离散时间系统因果性与系统函数收敛域的关系,对于因果的LTI离散时间系统，其冲激响应是因果信号,得,的收敛域应为距原点最远的极点所在圆的,因果信号 显然是一个右边信号，其z变换 （即系统函数）,圆外z平面。,3. 系统可逆性与逆系统的系统函数,由时域卷积特性，逆系统的系统函数满足,根据第二章的结论，逆系统冲激响应与间应满足,(7.6.10),(7.6.11),4. 系统稳定性与系统函数收敛域的关系,LTI离散时间系统稳定的充要条件为: 系统函数 的收敛域包含单位圆。 稳定的因果系统，H(z)的所有极点都位于单位圆内，即收敛域包含单
14、位圆。 稳定的逆因果系统，H(z)的所有极点都位于单位圆外，即收敛域也包含单位圆。 如果h(n)是双边的，系统稳定的充要条件是：系统函数的收敛域包含单位圆。,例7.6.2已知LTI离散时间系统的差分方程为,（1）求系统函数，画出系统零极点图；,（2）若系统是因果的，求系统冲激响应；,（3）若系统是逆因果的，求系统冲激响应；,（4）若系统是稳定的，求系统冲激响应 ；,解: (1)对差分方程两边求z变换，得,得系统函数,利用部分分式分解方法，得到,（2）若系统是因果的,则 的收敛域应为,（3）若系统是逆因果的,则 的收敛域应为,（4）若系统是稳定的,则 的收敛域应为,例7.6.已知LTI离散时间系
15、统对输入 的响应,求系统函数 及其收敛域。,解：输入信号的z变换为,根据式(7-6-3)得系统函数 的表达式为,需特别注意的是 的收敛域，由于有两个 极点3和-1/2 ，仅当 的收敛域为,的收敛域与,的收敛域的交集才可能为,.所以，,及其收敛域为,5. 系统频率响应与系统零极点位置,系统稳定时，系统频率响应存在，且可表示为,(7.6.17),系统函数可用零极点表示为,则系统的频率响应为,可见，系统的频率响应由零极点位置完全确定。,(7.6.18),例7.6.4 已知系统极点为 ， ， 无非零的零点，定性画出系统的幅频特性。,解：,6. 离散时间全通系统和最小相位系统的概念,(1)离散时间全通系统,同连续时间系统一样，所谓全通系统，就是 LTI离散时间系统的幅频特性为一常数，即,是一常数,(7.6.20),可以证明，不论系统函数 是实
