第6章圆轴扭转讲课

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1、,第6章 圆轴扭转,6.1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图,6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算,6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算,小结,6.1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图,使得丝锥杆发生扭转变形。如图6.1所示。 图6.2所示的方向盘操纵杆以及一些传动轴等均是扭转变形的实例，它们的受力简图如图6.3 所示。,工程有中许多杆件承受扭转变形。例如，当钳工攻螺纹孔时，两手所加的外力偶作用在丝锥杆的上端，工件的反作用力偶作用在丝锥杆的下段端，,3,工程构件分类:,杆的基本变形:,4,研究对象： 圆截面直杆,受力特点： 作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程: SMx=0,变

2、形特征：相对扭转角 fAB 圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。,传动轴,返回主目录,研究对象： 圆截面直杆,受力特点： 作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程: SMx=0,变形特征：相对扭转角 fAB,6.1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图,1. 外力偶矩的计算,（6.1）,2.扭矩与扭矩图,如图6.4所示等截面圆轴，已知外力偶矩Me，由截面法求横截面上的内力。,将轴解开，分析左段的平衡问题，截面上必有内力矩T。,P为传递功率(kW);n为转速(r/min),扭矩：是横截面上的内力偶矩。 内力由截面法求得。,由平衡方程：,扭矩的符号规定：,按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向

3、，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。,上述截面的内力（扭矩）为正值,C,解：由于AB、BC两段的扭矩不同，所以要分段计算,（1）计算AB段的扭矩,（2）计算BC段的扭矩,（3）作扭矩图,由平衡条件,， ，,T称为扭矩，单位为Nm，若取右段分析，求出的截面内力矩大小相等，但方向相反。,内力矩符号规定，采用右手螺旋法则：四指顺着扭矩的转向握住轴，如图 6.5所示。一般情况下扭矩T是横截面的位置,x的函数。即,扭矩图以垂直于x轴的T轴表示扭矩，以与轴线平行的x轴表示横截面的位置，由 绘出的曲线。,6.1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图,例6.1 如图6.6a所示，一传动系统的

4、主轴ABC的转速 ，输入功率 ，输出功率 ， 。试画出ABC轴的扭矩图。,解 1.计算外力偶矩,同理可得,2.计算扭矩 将轴分为 AB, BC 两段计算扭矩。,6.1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图,由平衡条件,可得,对于 BC段（图6.6c）,由平衡条件,可得,3. 画扭矩图 根据以上结果，按比例绘扭矩图（图6.6d）,最大力偶矩发生在AB段内，,AB 段（图6.6b）,6.1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图,6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算,6.2.1 切应力互等定律 剪切胡可定律,在切应力的作用下，单元体右面相对于左面产生错动，其错动量为绝对剪切变形，而相对变形为,是矩形直角的

5、微小改变量，称为切应变或角应变（rad）。,实验表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比关系，即,引入比例常数G，得,这就是剪切胡克定律表达式。比例常数G叫剪切弹性模量。,当切应力不变时，G越大，切应变就越小，所以G表示材料抵抗剪切变形的能力。 可以证明，对于各项同性材料，G，E和不是各自独立的三个弹性常熟，他们时间的关系如下：,6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算,为分析圆轴横截面上的应力情况，可进行扭转试验。如图6.8(a)实验前在圆轴表面作记号纵向线和横向线。,变形现象：各圆周线形状、大小、间距不变，仅绕轴线相对转动；,各纵向线倾斜相同的角度 ，仍为直线。,平面假设成

6、立：圆轴的横截面变形前为平面，变形后仍为平面。,推论：圆轴纯扭转时，横截面上只有垂直于半径的切应力，而无正应力。,6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算,6.2.2 圆轴扭转时横截面上的应力,一、分析变形规律,1. 横截面上的应力,表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(问题的几何方面),横截面上应变的变化规律,横截面上应力变化规律,应力-应变关系,(问题的物理方面),内力与应力的关系,横截面上应力的计算公式,(问题的静力学方面),圆轴扭转实验现象：,横向：圆周线仍相互平行，且形状和大小不变，间距不变，但相邻圆周发生相对转动,纵向：各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与圆周线所组成的矩形变

7、成了平行四边形,平截面假定：圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动）,推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。,取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。,1. 变形几何条件,g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为 CC= gdx=rdf , 故有：,df /dx ,称为单位扭转角。,对半径为r的其它各处，可作类似的分析。,1. 变形几何条件,对半径为r的其它各处，作类似的分析。,同样有： CC= gdx=rdf,2. 物理关系 材料的应力-

8、应变关系,材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。,讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布,圆轴几何及MT给定，df/dx为常数；G是材料常数。,-(3),最大剪应力在圆轴表面处。扭转,截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比；,剪应变在ABCD面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。,3. 力的平衡关系,应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。,取微面积如图，有：,-(3),利用(3)式，得到：,3. 力的平衡关系,令：,Ir 称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。,tmax在圆轴表面处，且,WT =IP / r，称为抗扭

9、截面模量。,求IP，WT ?,圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量,讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积 dA=2prdr, 则有：,a=d/D,空心圆轴,研究思路：,结论：,1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。,2） 截面任一处 截面外圆周处（表面） tP=MTr/IP tmax=MT/WT,二、分析应力的分布规律,1.几何关系,在圆轴上截取长为dx的微段，如图6.9所示。,A点的切应变为，且,横截面上任意点的切应变为,(6.5),6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算,式中： 单位长度扭转角,由于各纵向线倾斜角相同，都为 ，在同一截面上

10、其为常数。,1.由截面法求扭矩,2.绘扭矩图，如图6.13b所示。,3.由于AB，BC段的扭矩、直径不相同，危险截面的位置不能确定，故分别校核。,（1）校核AB段的强度 由强度条件,6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算,力 Mpa，力偶矩 ， ， 。试校核轴的强度。,例6.2 阶梯圆轴ABC的直径如图6.13a所示，轴材料的许用应,故AB段是安全的。,（2）校核BC段的强度 由强度条件,故BC段的强度不够。所以阶梯轴的强度不够。,6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算,6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算,6.3.1 圆轴扭转时的变形 计算,由,两边积分,对于同一截面的等截面圆轴，如果在长度 内各截面

11、扭矩也相等，则T、GIP为常数。上式积分为,（6.14）,注意：若在长度内扭矩有变化，或轴的直径不同，则需分段由公式（6.14）计算各段的扭转角，然后求代数和。,扭转变形用两个横截面的相对转角表示,. 扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量。,当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有,由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为,例6.3 传动轴及其所受外力偶如图6.14a所示，轴材料的切变模量 G =80GPa ，直径d=40mm。试计算该轴的总转角 。

12、,解 1.截面法求内力矩,2.画扭矩图如图6.14a 所示。,3.计算扭转角,6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算,圆轴的截面二次极矩,AB段的相对扭转角为,BC段的相对扭转角为,由此得轴的总转角为,6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算,6.3.2 圆轴扭转时的刚度计算,圆轴扭转时除了强度要求外，有时还有刚度要求，即要求轴在一定的长度内扭转角不超过某一值，通常限制单位长度转角 。,圆轴扭转时得刚度条件：,（6.15）,6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算,j,j,式中，单位长度转角 和单位长度许可转角 的单位都是rad/m。,工程上，单位长度许可转角 的单位为 m，考虑单位换算，则得,（6.17）,

13、不同类型的轴的 的值可从有关的工程手册中查得 。,注意：运用圆轴的刚度条件，也可以求解截面设计、校核和确定许可载荷等三类问题 。,6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算,例6.4 等截面传动圆轴如图6.15a所示。已知该轴转速 n=300r/min，主动轮输入功率 kW，从动论输入功率 kW， kW， kW，材料的切变模量G=80 GPa，许用切应力 MPa，单位长度许可转角 1 m，试按强度及刚度条件设计此轴直径。,解 1.计算外力偶矩,由公式 可得,MA=159.2 Nm，MB=318.3 Nm， MC=955 Nm，MD=477.5 Nm,2.截面法求扭矩,TAB=-159.2 Nm，TBC

14、=-(MA+MB)=-477.5N.m，TCD=477.5 Nm。,6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算,3.画扭矩图，如图6.15a 所示。,由扭矩图可知，Tmax=477.5 Nm，发生在BC与CD段。,4.按强度条件设计轴的直径,由强度条件（7） 得,5.按刚度条件设计轴的直径,根据刚度条件,6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算,及,综上所述，圆轴须同时满足强度和刚度条件，则取d=44 mm。,6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算,得,作业,P123 6.1 6.3 6.5 6.6,2.圆轴扭转时的强度条件为,对于等截面圆轴，则有,利用强度条件可以完成强度校核、确定截面尺寸和许可载荷等三类强度计算问题。,3.等截面圆轴扭转时的变形计算公式为,等截面圆轴扭转的刚度条件为,1.圆轴在力偶作用面垂直于轴线的平衡力偶系作用下产生扭转变形。扭转圆轴横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距离成正比，在圆心处为零。最大切应力发生在圆轴边缘各点处，其计算公式为：,第章 圆轴扭转 小结,圆轴扭转,剪应力 t 在横截面上线性分布。,杆的拉压,抗扭刚度,抗拉刚度,圆轴扭转,杆的拉压,强度设计,刚度设计,