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1、数学及应用(第二版),课题二 三角函数,会正确运用角的概念.,图2-1是用扳手拧螺母的示意图：其中图b中的扳手逆时针旋转（旋松）了30；图c中的扳手顺时针旋转（旋紧）了30；图d的扳手逆时针旋转（旋松）了一圈又30 ；而图a中的扳手未做旋转. 扳手的起始位置和终了位置构成一个角，我们如何来描述这些角的大小呢？,图2-1,根据初中学过的角的知识，图2-1 b、c、d中的扳手所构成的角都是30，这显然没有反映实际的工作情况（事实上这三个角是不一样的）.这就是说，利用初中学过的角的概念无法对扳手旋转的角度进行确切地描述，这就需要把角的概念进行推广.,一、任意角的概念,在平面内，一条射线绕着它的端点旋
2、转所形成的图形叫做角.其中，射线的起始位置叫做角的始边, 射线的终了位置叫做角的终边，射线的顶点叫做角的顶点. 并规定, 按逆时针方向旋转所成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.当旋转量为零时叫做零角，零角的始边与终边重合. 角的概念经过这样推广以后，包括任意大小的正角、负角和零角，它们统称为任意角.有了任意角的概念, 描述“任务提出”中扳手旋转所成的角的大小就容易了.,不难看出,图2-1a、b、c、d中的扳手旋转所成的角分别是0、30、-30和390. 二、象限角与终边相同的角 为了研究问题的方便，今后我们主要在直角坐标系内研究角.我们置角的顶点于坐标原点，角的始边重合于x轴的正
3、半轴，那么角的终边落在第几象限就称这个角是第几象限角.如图2-2中的30角是第一象限角，-120角是第三象限角. 是第一象限角时，记作 ，读作属于第一象限，以此类推.如果角的终边落在坐标轴上，就称这个角为坐标轴上的角.,终边落在同一条射线上的角称为终边相同的角如30与390就是终边相同的角. 容易发现，与30角终边相同的角有无穷多个，它们的大小相差360的整数倍，可表示为： （k为整数）.如图2-3所示.,图2-2 图2-3,30=30+ 0 （这里k= 0 ） 390=30+360 （这里k= 1 ）， -330=30-360（这里k=-1 ）.,一般地，所有与 角终边相同的角（包括角在内）
4、可以表示为： +k360 (k为整数).,例1 如图2-4所示，从动轮有48个齿，主动轮有32个齿，当主动轮旋转一周，从动轮上一点 B 转到B的位置，求B点绕O点旋转的角度？,解：当主动轮逆时针旋转一周（360） 时，从动轮顺时针旋转的周数为： = 所以，B点绕O点旋转所形成的角为： 360=-240, 例2 把下列各角写成 + k360（0360，k为整数）的形式，并判定它们分别是第几象限角： （1）199012； （2）-1998,解：（1）因为199012=19012+ 5360， 所以 19012是与199012终边相同的角. 因为 19012， 所以 199012. （2）因为 -1
5、998=162-6360， 所以 162是与-1998终边相同的角. 因为 162， 所以 -1998.,例3 分别表示出第一、三象限角. 解：（1）因为在0 360范围第一象限角可表示为090， 所以第一象限角可表示为 k36090+ k360 (k为整数) . （2）因为在0 360范围第三象限角可 表示为180270， 所以第三象限角可表示为 180 + k360270+ k360(k为整数) .,1.回答下列问题： 锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就钝角、直角回答这两个问题. 2.时间经过3h，时针、分针各转了多少度？ 3.在平面直角坐标系中作出下列各角，并指出它们分别
6、是第几象限角. （1）405； （2）-150； （3） -630. 4. 把下列各角写成 + k360（0360，k为整数）的形式，并指出它们分别是第几象限角.,（1）1500；（2）-5832；（3)-192424. 5.分别写出与下列各角终边相同的角： （1）75；（2）-30；（3）- 150.,能够正确理解和掌握弧度制的概念，能够熟练地进行弧度和角度的转化，能够运用弧度公式计算弧长和扇形的面积.,如图所示，田径运动场的弯道为圆弧.经测量知道，其中道宽为1.15，内弧半径为32，弧长为83.73，试求这段跑道的中心角的大小、外弧长 及面积,初中我们学过，弧长公式 ，由此可得 圆心角 ，
7、容易看出，圆心角的大小是由 决定的. 因此我们可用比值 来度量圆心角的大小，这种度量角的制度就是弧度制.有了弧度制的概念，使得弧长和面积的计算大大的简化，并且使得角度也能直接进行十进制加减计算了.,一、弧度制的概念,定义 长度等于半径的圆弧所对 的圆心角的大小称为弧度.记作 rad，读作1弧度.如图2-6所示，设圆 的半径为r，若弧 =r,则AOB=1 rad,弧 =2r,则AOC=2rad,若弧 = r, 则AOD= rad我们规定：正角的弧度数为正 数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.于是，任意角的弧度数和弧长 ,半径r的关系为：= r 该公式称为弧长公式.,二、度与弧度的换算 角度
8、制和弧度制是度量角的两种不同方法，在数学和工程技术中都被广泛采用，用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）；用角度制和弧度制来度量任意非零角，单位不同，数量也不同.下面研究它们之间的换算关系. 因为周角的弧度数是 = = =2 . 而在角度制下周角的度数360，所以 360= 2rad, 则180=rad，由此可得：,1= rad 0.01745 rad 1 rad = （ ） 57.30= 5718 一般地，我们只须根据180=rad就可以进行弧度与角度的换算了 例1 把下列各角的度数化为弧度数： （1）2230； （2）15.6. 解：（1）2230= 22.5= rad
9、 = rad；,（2）15.6 0.01745 rad 15.6 0.272 rad. 例2 把下列各角的弧度数化为度数： （1） rad；（2）1.3826 rad（精确到1）. 解：（1） rad = = 210； （2）1.3826 rad 57181.3826 7913.,度数与弧度数的对应关系，除用上述公式进行换算外，还可以使用计算器进行换算。对于一些常用的特殊角的度数与弧度数的对应关系，列表如下：,在弧度制下，与 角终边相同的角可表示为： + k2（k为整数）. 今后用弧度制表示角时，“弧度”或“rad”通常省去不写，而只写该角所对应的弧度数.例如，=1就表示是1rad的角,sin
10、 就表示 rad的角的正弦,即 sin =sin = . 角的概念推广后，在弧度制下，角与实数之间建立起一一对应的关系：每一个角都有一个唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有一个唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.,三、用弧度制表示的扇形面积公式,例3. 如图2-7所示，在车床上加工工件时，工件圆周上任意一个质点均做匀速圆周运动.设圆的半径12cm，质点在1s内由P点运动到 点，所经过的弧长为120cm，求质点运动的角速度. 解：设质点所经过的角为 rad， 则 = = = 10 rad. 因为，质点运动的角速度， 所以，所求角速度,会利用三角函数定
11、义及同角三角函数关系式求任意角的三角函数值,如图2-8所示，半径为 r的飞轮，绕O点匀速转动， 当飞轮转过390时，其上 一点P转到 的位置，求其 水平坐标x和垂直坐标y.,图2-8,如果我们能够建立x、y和r、的关系式，我们就可以用r、求出x、y.实际上，在090时，我们已建立了相应关系，如图2-9所示,对于超出上述范围的任意角，我们能不能建立类似的定义呢？如果可以，我们就可以计算像390这样任意角的三角函数了.,图2-9,一、任意角的三角函数 定义：如图2-10所示，设是一个任意角， P（x,y）是终边上异于原点的任意一点，点P与原点O的距离为r = 0.则：,图2-10,根据任意角的三角
12、函数的定义可知，任意角的三角函数值，仅与其终边的位置有关，因此终边相同的角的三角函数值相等即:,二、三角函数的符号 根据三角函数的定义， 以及各象限内点的坐标符号， 可以确定三角函数值在各象 限的符号，如图2-11所示. 这里的规律可概括为： 全正，正弦，正切， 余弦即在第一象限三角 函数全为正值；在第二象限 正弦为正值，其他为负值； 在第三象限正切为正值， 其他为负值；在第四象限余 弦为正值，其他为负值.,三、同角的三角函数的基本关系式,例3 求“任务提出”中的坐标x、y.,例4 如图2-12所示，已知角终边上一点 P（4，-3），求角的三角函数值.,会利用诱导公式求任意角的三角函数，或根据
13、三角函数值求出相应的角.,上一节我们根据三角函数的定义，用图解的方法求出了任意角的三角函数值，能不能直接用代数的方法求得任意角的三角函数呢？例如求sin(-30)的值. 再比如，知道sin= - ，能不能求出呢？,我们知道,sin30= ,-30角的终边与30角的终边关于x轴对称， sin（-30） 与sin30的值是否存在某种关系呢？是否能通过30角的三角函数值求出-30角的三角函数值呢？,一、诱导公式 1-与的三角函数关系 如图2-13所示，过任意角上一点 （x，y）作x轴的垂线交-的终边于 ，交x轴于M，由于-的终边与角的终边关于x轴对称，所以点 与 关于x轴对称，因此，点 坐标是（x，-y），OP1 = OP2 =r.由三角函数的定义得： sin= ， cos= ， tan= ； sin（-）= ， cos（-）= ， tan（-）= .,公式一,图213,二、已知三角函数值求角 已知角可以求出其三角函数值，反之，已知三角函数值，也可以求出其对应的角. 例3 求“任务提出”中sin=- 时的角 解：因为 sin=- 0， 所以 或，当 时,=2k- (k为整数）. 当 时,=2k- (k为整数）.所以所求的角 为2k- 或2k- .,会利用正弦定理解斜三角形.,如图2-14所示，要测量山顶上电视塔的塔顶到地平面的高度AB，从与地面在同一水平直线上
