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1、练习,1、设列车停车位置控制系统如下，其中参数k11,k21000，k3=0.001,a0.1,b=0.1，试证明当放大器增益Ka为任何正值时，系统都是稳定的,Ka,K2,K3/s2,C(s),as2,bs,k1,R(s),至停点距离,放大器,刹车系统,列车,实际位置,加速度计,测速计,位置测量装置,2、,设单位反馈系统的开环传递函数为,要求系统闭环时稳定，试确定K和T的范围,系统闭环特征方程为 2Ts3+(2+T)s2+(1+K)s+K=0 劳斯表： s3 2T 1+k s2 2+T K S1 1-K(T-2)/(T+2) s0 K 系统稳定则第一列均大于0,T0,2+T0, 1-K(T-2
2、)/(T+2) ,K0 所以：T0，0K(T+2)/(T-2),控制系统的分析方法,时域分析法 稳定性分析 劳斯判据 动态性能 上升时间 超调 稳态性能 稳态误差 频域分析法 动态性能 频带宽度,频率特性曲线的形状 稳定性分析 奈奎斯特稳定判据,开环系统的伯德图,步骤如下,1,2,写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由大到小依次标在频率轴上,绘制开环对数幅频曲线的渐近线。,低频段的斜率为,渐近线由若干条分段直线所组成,在,处，,每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率,因子的转折频率,，当,时，,分段直线斜率的变化量为,因子的转折频率,，当,分段直线斜率的变化量为,时，,4,3,
3、高频渐近线，其斜率为,n为极点数，m为零点数,作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正,作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线,已知一反馈控制系统的开环传递函数为,试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示）,例1,解：开环频率特性为,-20dB/dec,-40dB/dec,-20dB/dec,解：先绘制对数幅频渐近特性，然后根据误差曲线查得的值进行修正。 1)对开环传递函数作典型环节分解,2,4,-80db/dec,-80db/dec,-60db/dec,-40db/dec,-20db/dec
4、, k=100; z=-4; p=1 2 4; r=roots(p) r = -1.0000 + 1.7321i -1.0000 - 1.7321i p=0 -1 -10 -1+1.732i -1-1.732i; num den=zp2tf(z,p,k)；, w=logspace(-1,1,100); mag,phase,w=bode(num,den,w); semilogx(w,20*log10(mag),grid,频率特性的概念,设系统结构如图，,由劳斯判据知系统稳定。,给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，,Ar=1 =0.5,=1,=2,=2.5,=4,曲线如下:,给稳定的系统输入
5、一个正弦，其稳态输出是与输入,同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。,例题：绘制开环对数幅频渐近特性曲线 解：开环传递函数为,低频段：,时为38db,转折频率：0.5 2 30,斜率： -40 -20 -40,时为52db,绘制L()曲线例题,0.1,0.5,1,2,10,30,100,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),返回,-20,-40,-20,-40,L()曲线,返回,说明: r(t)=(t), C( )=0 所以,系统稳定,时域稳定曲线,返回,说明: r(t)=(t), C( )= 所以,系统不稳定,时域不稳定曲线,返回,对数坐标系,倒置的坐标系,0db,
6、20db,40db,-20db,-40db,L(),-20,返回,积分环节L(),0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),+20,返回,微分环节L(),4.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线,可用幅值,和相角,的向量表示。当输入信号的频率,由零变化到无穷大时，向量,的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。,在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义的,极坐标图,但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响,采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应
7、特性。,4.3.1积分与微分因子,所以,的极坐标图是负虚轴。,的极坐标图是正虚轴。,积分因子极坐标图,微分因子极坐标图,4.3.2一阶因子,一阶因子,极坐标图,一阶因子,极坐标图,4.3.3二阶因子,的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。,二阶因子极坐标图,对于欠阻尼,时,相角,的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率,极坐标图上，距原点最远的频率点，相应于谐振频率,这时,可以用谐振频率,处的向量幅值，与,处向量幅值之比来确定。,当,的峰值,过阻尼情况,增加到远大于1时，,的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方
8、程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的值， 比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。,当,对于,极坐标图的低频部分为：,极坐标图的高频部分为：,二阶因子,极坐标图,二阶因子,极坐标图,例 考虑下列二阶传递函数：,试画出这个传递函数的极坐标图。,解：,极坐标图的低频部分为：,极坐标图的高频部分为：,极坐标图,4.3.4 传递延迟,当,时，,当,两者存在本质的差别,低频时传递延迟与一阶环节的特性相似,时,4.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图,二阶因子对数幅-相图,4.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterio
9、n),闭环系统,闭环传递函数为,为了保证系统稳定，特征方程,的全部根，都必须位于左半s平面。,的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。,虽然开环传递函数,充要条件,奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应,与,在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。,由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析,奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的,假设开环传递函数,可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的
10、阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的,的极限，或趋于零，或趋于常数。,4.5.1 预备知识,可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在,平面上必存在一条封闭曲线与之对应。,平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。,例如考虑下列开环传递函数：,其特征方程为：,函数,在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，,平面上必有一点与之对应,，则,为：,这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在,平面上就必有一个封闭曲线与之对应。,例如,s平面上的图形
11、在 平面上的变换,上半s平面内的直线,和,在,平面上的变换,0,0,当s平面上的图形包围两个,的极点时，,的轨迹将反时针方向包围,平面上原点两次,A,B,F,E,D,C,A1,B1,F1,E1,D1,C1,当s平面上的图形包围,的两个极点和两个零点，,的轨迹将不包围原点,相应的,0,0,如果这个曲线只包围一个零点，相应的,的轨迹将顺时针包围原点一次，,封闭曲线既不包围零点又不包围极点，,的轨迹将永远不会包围,平面上的原点,如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2)，,相应的封闭曲线不包围,上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理的基础上。,即包围的零点数
12、与极点数相同，则在,平面上，,平面上的原点。,4.5.2影射定理,设,为两个s的多项式之比，并设P为,的极点数，Z为,的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内，,的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到,平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时,平面上，相应的轨迹顺时针包围,原点的总次数R等于Z-P。,且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过,在,若R为正数，表示,的零点数超过了极点数；,的极点数超过了零点数。,很容易确定,的P数。因此，如果，,的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数,若R为负数，表示,在控制系统应用中，由,很容易确定。,两者的极
13、点数相同,4.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用,为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个,轴(从,到,该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了,)和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成,的所有正实部的极点和零点。,则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。,如果,在右半s平面不存在零点，,s平面内的封闭曲线,曲线对原点的包围，恰等于,轨迹对-1+j0点的包围,奈奎斯特稳定判据,1)如果开环系统是稳定的，即P0，则闭环系统稳定的充要条件是 不包括（1,j0)点。 2）如果开环系统
14、不稳定，且已知有P个开环极点在s的右半平面，则闭环系统稳定的充要条件是 曲线按逆时针方向围绕（1,j0)点旋转P周。,这一判据可表示为：,函数,在右半s平面内的零点数,对-1+j0点顺时针包围的次数,函数,如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须,或,，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。,4.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明,式中,在右半s平面内的极点数,如果函数,在右半s平面内无任何极点，则,因此，为了保证系统稳定，,的轨迹必须不包围-1+j0点。,如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含,和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不,通过的任何极点或零点，则在,平面上相对应
15、的曲线将沿顺时针方向包围,点,次（负R值表示反时针包围,点）。,4.6稳定性分析,的Z个零点,a)不包围-1+j0,如果这时,在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。,点。如果反时针方向包围的次数，等于,在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。,点。系统是不稳定的。,c)顺时针包围-1+j0,b)反时针包围-1+j0,例 设闭环系统的开环传递函数为：,的轨迹如图所示。,在右半s平面内没有任何极点，并且,的轨迹不包围,，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。,上 例中的,极坐标图,例 设系统具有下列开环传递函数：,试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益K较小增益K较大。,小K值时是稳定的,大K值时是不稳定的,例 设开环传递函数为：,该系统的闭环稳定性取决于,和,相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。,的轨迹不包围,系统是稳定的,的轨迹通过,点，这表明闭环极点位于轴上,的轨迹顺时针方向包围,点两次，因此系统有两个
