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1、线性代数强化讲义许老师 1 材料说明材料说明：本材料结合基础班和强化班编写，计划 4 天（练习全讲）课程量。 必须要说的话： 线性代数是大学数学中最简单的一门课， 任何考生都有能力取得线性代数的 高分！理由如下： 其一，该课程中所用到的计算几乎都是小学数学的加减乘除，高数中的微积 分在线性代数中很难找到他的应用，所以不管高等数学的成绩如何，基本不会对 线性代数产生什么影响； 其二，线性代数整个课程的思路非常单一，并且贯穿始终。它要解决的问题 只有一个，即线性方程组的解。 因此经过认真、严格、扎实、系统的复习，任何同学都有取得线性代数满分 的能力! 线性代数的框架线性代数的框架 二 次 型 初等
2、变换法 特征值和特征向量 线性方程组 矩阵行列式 克莱姆法则 n维向量 解的存在性定理 解的结构性定理 线性代数强化讲义许老师 2 目录目录 线性代数的框架.1 第一章 行列式.3 知识要点精讲.3 一、n 阶行列式的概念4 二、行列式的性质.4 三、重要公式和结论.5 四、行列式的应用克莱姆法则6 重点题型归纳.6 题型 1 行列式的定义6 题型 2 数值型行列式7 题型 3 抽象行列式的计算和证明. 9 第二章矩阵.16 知识要点精讲.16 一、矩阵的概念.16 二 、矩阵的运算.16 三、矩阵的逆阵.19 四、分块矩阵.20 五、矩阵的初等变换.22 六、矩阵的秩.23 重点题型归纳.2
3、5 题型 1 方阵的高次幂25 题型 2 数字型矩阵的求逆. 27 题型 3 抽象矩阵的可逆性判断和求逆.29 题型 4 初等变换与初等矩阵. 31 题型 5与伴随矩阵有关的计算与证明.33 题型 6 秩的相关计算与证明. 35 第三章向量组及其相关性.37 知识要点精讲.37 一、向量的概念与运算 37 二、线性组合与线性表示 38 三、线性相关与线性无关 39 四、向量组的秩.40 五、向量空间（仅数学 1）. 40 六、向量的内积和正交性 41 重点题型归纳.42 题型 1 线性相关和无关的判断. 42 题型 2 线性组合与线性表示. 45 题型 3求向量组的秩、极大线性无关组.46 题
4、型 4 向量空间47 第 4 章 线性方程组.49 知识要点精讲.49 一、用矩阵的观点研究线性方程组49 线性代数强化讲义许老师 3 二、向量观点下的齐次线性方程组49 三、向量观点下的非齐次线性方程组50 重点题型归纳.51 题型 1 线性方程组的求解（一般情形）.51 题型 2 线性方程组的求解（特殊情形）.54 题型 3 矩阵方程61 题型 4 线性方程组的同解，公共解.65 第五章 特征值与特征向量.67 知识要点精讲.67 一、基本概念.67 二、特征值与特征向量的性质 67 三、相似矩阵.68 四、方阵的对角化.69 五、对称矩阵的对角化 70 重点题型归纳.71 题型 1 特征
5、值和特征向量的求解71 题型 2 特征值和特征向量的逆问题.73 题型 3 相似矩阵的判定及其逆问题.75 题型 4 方阵对角化与实对称阵对角化的讨论.77 题型 5 秩为 1 的矩阵84 题型 6 抽象矩阵可对角化的证明.88 题型 7 利用特征值与相似矩阵求行列式.89 第六章 二次型.91 基础知识精讲.91 一、二次型及其矩阵表示 91 二、线性变换与矩阵的合同关系92 三、二次型的标准型.92 四、二次型的规范型.93 五、正定二次型与正定矩阵 93 重点题型归纳.94 题型 1 二次型的概念和性质. 94 题型 2 合同变换与合同矩阵. 94 题型 3 二次型的标准形. 95 题型
6、 4正定二次型的相关证明.103 第一章第一章 行列式行列式 知识要点精讲知识要点精讲 行列式直接来源于简洁表达方程组解的需求行列式直接来源于简洁表达方程组解的需求， 引入这一概念后引入这一概念后， 方程组的解方程组的解 就有了一个简洁地表示，这一点可以从克莱姆法则看出。就有了一个简洁地表示，这一点可以从克莱姆法则看出。 线性代数强化讲义许老师 4 一、一、n n 阶行列式的概念阶行列式的概念 1、行列式 n n n njjj jjj jjj aaaD 21 21 21 21 )( ) 1( 注：注： 是是! n项的代数和；项的代数和；即行列式是一个代数式！即行列式是一个代数式！ 每一项是每一
7、项是n个元素的乘积个元素的乘积，它们共有它们共有! n项项，分别是来自不同行不同列的分别是来自不同行不同列的 n 个元素的乘积，即个元素的乘积，即 n njjj aaa 21 21 的下标是的下标是 n jjj 21 是是n, 2 , 1的一个全排列。的一个全排列。 n njj aa 1 1 前面的符号取决于前面的符号取决于 n jjj 21 1 即偶排列时为即偶排列时为 1，奇排，奇排 列时为列时为-1。 2、bcad dc ba 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 3、 余子式与代数余子式 ij a的余子式 ij M； ij a的代数余子式 ij ji ij
8、MA ) 1(。 二、行列式的性质二、行列式的性质 （一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、 （转置）行列式与其转置行列式相等。| | T DD。 2、 （对调）对调两行（或列）行列式改变符号。| | ijij E AAEA 3、 （提取）行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。 |( )| |( )| ii E k AAE kk A 推论： （1）行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。 （2）行列式某两行（或列）相同，行列式为零。 （3）行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。 4、 （分裂）行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为 两个行列式
9、之和。 TTTT 5、 （倍加）行列式的某行（或列）的所有元素乘以 k 加到另一行（或列）上去， 行列式保持不变。|( )| |( )| | ijij Ek AAEkA （二）行列式降阶的性质（按行按列展开定理） 6、行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和， 线性代数强化讲义许老师 5 1122iiiiinin Da Aa Aa A，1,in （按行展开） 1122jjjjnjnj Da Aa Aa A，1,jn （按列展开） 11 |, 0, nn ikjkkikj kk A ij a Aa A ij 注意：掌握以上结果后，计算行列式的基本知识已经全部具备，不会再
10、有新内注意：掌握以上结果后，计算行列式的基本知识已经全部具备，不会再有新内 容加入。容加入。 三、重要公式和结论三、重要公式和结论 1、常用特殊行列式 （1）对角行列式 1 2 1 00 00 00 n i i n a a a a （2）上（下）三角行列式 1112111 2222122 1 12 00 00 00 n n n i i nnnnnn aaaa aaaa a aaaa （3）范德蒙行列式： 12 1 111 12 111 () n ij j i n nnn n aaa aa aaa 。 （4）副对角线行列式 111121,11, 2,1221222,1 (1) 2 1,2,11
11、12,11 000 000 ( 1) 000 nnn nnn n n nnn nnn nnnn aaaaa aaaaa a aa aaaaa 注意：行列式的性质和上面的这些基本结果，是对行列式进行计算的最重要的注意：行列式的性质和上面的这些基本结果，是对行列式进行计算的最重要的 法宝。行列式计算的一般原则就是利用行列式的性质将其化为上（下）三角，法宝。行列式计算的一般原则就是利用行列式的性质将其化为上（下）三角， 然后求解。然后求解。 线性代数强化讲义许老师 6 四、行列式的应用四、行列式的应用克莱姆法则克莱姆法则 对方程组0 n n A x 及 1n nn A xb 定理定理 1 10 n
12、n A x 只有零解的充分必要条件是| 0A ； 0 n n A x 有非零解充分必要条件是| 0A 。 定理定理 2 2 1n nn A xb 有唯一解的充分必要条件是| 0A ，且), 2 , 1(ni D D x i i ； 当0D时， 1n nn A xb 要么无解，要么有无穷多个解。 注：克莱姆法则更多的是理论上的应用。注：克莱姆法则更多的是理论上的应用。 重点题型归纳重点题型归纳 题型题型 1 1 行列式的定义行列式的定义 【例 1】 求n阶行列式 1111 1111 1111 1111 D 按定义展开后的!n中正项的总数。 解 将第一列加到其他各列，得 1 2nD 。设行列式展开
13、后共有x个正项，y个负 项。注意到，展开后的每项要么是 1，要么是-1，于是 2 1 2 1 ! 2 ! 2 12 ! 2 2 n n n xn xyn xy yn 【例 2】设随机变量( ,1,2, ;2) ij Xi jn n独立同分布，, 2 ij EX则行列式 nnnn n n XXX XXX XXX Y 21 22221 11211 的数学期望 EY=。 线性代数强化讲义许老师 7 解 由行列式的定义， 1 2 12 1 2 () 12 ( 1) n n n j jj jjnj j jj YXXX ，又由于随机变量 ( ,1,2, ;2) ij Xi jn n独立同分布，, 2 ij
14、 EX，所以根据数学期望的性质得 1 2 12 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 () 12 () 12 () ( 1)() ( 1)() ()() ( 1)20 20 n n n n n n n n j jj jjnj j jj j jj jjnj j jj j jjnn j jj EYE XXX E XE XE X 注：对于这个题目，必须运用行列式的定义来解题，而别无它法。 【例 3】求 5123 213 ( ) 23 1213 x x f x xx x 中 4 x和 3 x的系数。 答案： 4 15x， 3 3x。 【例 4】设(),(), ij ijn nijn n AaBa b 则| |AB 证明： 2 1 212 12 1 2 1 21 12 1 2 1 2 12 1 2 ()1 12 ()(1 2) () 12 () 12 |( 1) ( 1) ( 1) | j nn n n nn n n n n n j jjnjj jjnj j jj j jjnjj jjnj j jj j jj jjnj j jj Ba baba b a aa b a aa A 题型题型 2 数值型行列式数值型行列式 计算行列式的一般原则：计算行列式的一般原则： 根据行列式的性质根据行列式的性质，将行列式转换成上将行列式转换成上（下下）三角形三角形，在此过程中在此过程中，
