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1、3.2.2 直线的两点式方程,3.2.3 直线的一般式方程,y=kx+b,y y0 =k(x x0 ),复习 巩固,直线的点斜式方程：,直线的斜截式方程：,一、复习、引入,热身:,1、已知点A(-2,1),(1)求经过点A且平行于x轴的直线L1方程?(2)求经过点A且平行于直线2y=6x-10的直线L2方程?,2、求经过点P(1,0),Q(0,1)的直线L3方程;并求经过点P且与L3垂直的直线L4方程?,2)y-1=3(x+2),1)y=1,l3:y=-x+1 l4:y=x-1,解：设直线方程为：y=kx+b.,例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程,由已知得：,解
2、方程组得：,直线方程为: y=x+2,简单的做法：,化简得： x-y+2=0,解法二:,为什么可以这样做，这样做的根据是什么？,动点轨迹法解释：,kPP1= kP1P2,即：,得:y=x+2,设P(x,y)为直线上不同于P1 ， P2的动点，与P1(1,3),P2(2,4)在同一直线上，根据斜率相等可得：,二、直线两点式方程的推导,解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ， P2的点,直线的两点式方程：, kPP1= kP1P2,记忆特点：,推广,左边全为y，右边全为x,两边的分母全为常数,分子，分母中的减数相同,已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2) ， 求通过这两点的
3、直线方程,是不是已知任一直线中的两点就 能用两点式 写出直线方程呢？,不是!,两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线,注 意：,当x1 x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点式方程.( 因为x1 x2或y1= y2时，两点式的分母为零，没有意义),那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢？,三、两点式方程的适应范围,1.求过点(2,3)及点(2,5)的直线方程,2.求过点(3,5)及点(2,5)的直线方程,若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2） 中有x1 x2 ,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么？,当x1 x2 时 方程为： x x,当 y1= y2
4、时 方程为： y= y,练习 课本P97 1,点,横截距,纵截距,截距式,两点式,加号,数字“1”,直线与坐标轴的交点,注 意：,不是,是截距式吗?,不是.截距可是正数,负数和零,不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线,3.是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？,2.截距是不是一定是正数?,练习 课本P97 2,3,补充练习,B, 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条?,解: ,例3变式:,那还有一条,y=2x (与x轴和y轴的截距都为0),所以直线方程为：x+y-3=0,a=3,把(1,2)代入得：,设 直线的方程为:,两条,当 时,当 时,解：, 过(1,2)并且在两个
5、坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?,解得：a=b=3或a=b=1,直线方程为：y+x3=0、yx1=0或y=2x,设,当 时,当 时,y=2x,三条,例4:已知角形的三个顶点是A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程。,解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：,整理得：5x+3y6=0,这就是BC边所在直线的方程。,五、直线方程的应用,坐标为,BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：,即,整理得：x+13y+5=0 即为BC边上中线所在的直线的方程。,过A(-5,0),M 的直线方程,小结：,
6、2)两点式、截距式直线方程的适应范围,1)直线的两点式方程,直线的截距式方程,3)中点坐标：,分母不为0,直线的一般式方程,(一)填空,k存在,k存在,k存在,k0,k存在,k0 不过原点,问题1：,问题2：,上述五种直线方程的优缺点是什么？,优点：直线的特征明显,缺点：只适合一部分直线,上述五式都可以写成一种形式：,Ax+By+C=0, A、B不同时为0。,关于，二元一次方程,问题3：对于任意一个二元一次方程 （A，B不同时为零） 能否表示一条直线？,总结:,由上面讨论可知, 1.平面上任一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0（A、B不同时 为0）表示 2.关于x
7、,y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B 不同时为0）都表示一条直线.,Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式,3.二元一次方程的系数和常数项对直线位置的影响,探究：在方程 (A,B不同时为0) 1.当 时，方程表示的直线与x轴 ； 2.当 时，方程表示的直线与x轴垂直； 3.当 时，方程表示的直线与x轴_ ； 4.当 时，方程表示的直线与y轴重合 ； 5.当 时，方程表示的直线过原点.,平行,重合,5. 反馈体验,23,1、若方程mx+(m2-m)y+1=0表示一条直线，则实数m的取值范围是_.,m0,例5 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般
8、式：,注：对于直线方程的一般式，一般作如下 约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序 排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数 项一般不出现分数；无特别说明时，最好 将所求直线方程的结果写成一般式。,例6 把直线 化成斜截式，求出直线的斜率以及它在y轴上的截距。,解：将直线的一般式方程化为斜截式： ， 它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3,思考：若已知直线 ，求它在x轴上 的截距,求直线的一般式方程 的斜率和截距的方法： （1）直线的斜率 （2）直线在y轴上的截距b 令x=0，解出 值，则 (3) 直线与x轴的截距a 令y=0，解出 值，则,设直线 l 的方程为(a1)xy2a=0(aR) （1
9、）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围,解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都为零，当然相等，此时a=2,方程为3x+y=0. 若 ，即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等， 有 ，即 a+1=1, a=0 , l 的方程为 x+y+2=0. l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0 （2）将l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, 欲使l不经过第二象限，当且仅当 或 ， 综上所述，a的取值范围是 ,1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（ ） (A) AB0,AC0 (B) A
10、B0,AC0 (D) AB0,AC0,C,3、求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。,2、已知直线 在x轴上的截 距是y轴上截距的3倍，求a的值。,巩固练习,5.设直线l的方程为 （m22m3）x（2m2m1）y2m6 根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的截距是3； （2）斜率是1。,解：（1）由题意得,(2)由题意得,小结,1.直线的五种特殊形式 直线的一般形式,Ax+By+C=0 (A,B不同时为零),各有优缺点,2.灵活应用,注意相互转化,2.预习3.3.1两条直线的交点坐标 3.课本 练习1，2， B组 3，4,作业：1.P110 2. 3.
11、,谢谢,下节课见!,授课完毕,4、求过点P( 2, 1)的直线与两坐标轴正半轴所围成的三角形的面积最小时的直线方程,思考题：,已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程。,解：当x=0时，y=3. (0,-3)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(2,7).,当x=-2时，y=1. (-2,1)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(4,3). 那么，点 (2,7) ，(4,3)在l 1上,因此，直线l 1的方程为：,化简得: 2x + y -11=0,还有其它的方法吗？, l l 1，所以l 与l 1的斜率相同，, kl1=-2,经计算，l 1过点(4,3),所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4),化简得： 2x + y -11=0,
