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1、第四章 动能和势能思 考 题4.1 起重机起重重物。问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。又：在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？解 答在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功不一样多。加速上升 ；匀速上升 。4.2 弹簧A和B，劲度系数，(1)将弹簧拉长同样的距离；(2)拉长两个弹簧到某一长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个
2、弹簧做的功更多？解 答 (1) 拉长同样距离 ,.(2) , ,4.3 “弹簧拉伸或压缩时，弹簧势能总是正的。”这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹簧势能会是负的。解 答与零势能的选取有关。4.4 一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。想不通”。你能否给他解决这个疑难？解 答设两物体（质点）相距无限远处为零势能。4.5 人从静止开始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人体的动能是哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便？解 答（1）作用于鞋底的摩擦力没有做功。 （2）人体的动能是内力做功的
3、结果。 （3）用质点系动能定理分析这个问题较为方便。4.6 一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？解 答不一定。4.7 力的功是否与参考系有关？一对作用力与反作用力所做功的代数和是否和参考系有关？解 答（1）有关。 如图：木块相对桌面位移（s-l）木板对木块的滑动摩擦力做功f(s-l)若以木板为参照系，情况不一样。（2）无关。相对位移与参照系选取有关。（代数和不一定为零）4.8 取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。再以弹簧拉伸或压缩到某一程度时为势能零点，画出势能曲线。根据不同势能零点可画出若干条势能曲线。对重力势能和万有引力势能也可如此作，研究一下。解 答（1）弹簧原
4、长为势能零点 设处势能为零。（2）重力势能：处势能为零处势能为零处势能为零万有引力势能与上雷同。两质点距离无限远处势能为零习 题4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg。人用力向后登传送带而人的质心相对于地面不动。设传送带上侧以2m/s的速率向后运动。问运动员对传送带做功否？功率如何？解 答人作用到传送带上水平方向的力，大小为50g，方向向左。因为受力点有位移，所以运动员对传送带做功。 N=F=mg=50kg9.8N/kg2m/s=980w4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为，表示弹簧的伸长量，为正。（1）研究当和时弹簧的劲度有何不同
5、；（2）求出将弹簧由拉伸至时弹簧对外做的功。解 答（1）根据题意 所以弹簧劲度为当时，由于，所以，弹簧的劲度随弹簧的伸长量的增加而增加。当时，弹簧的劲度随弹簧的伸长量的增加而减小。当时，弹簧的劲度不变。以上三种情况的弹簧劲度系数如右图所示：（2）将弹簧由拉伸至时，弹簧对外界所做的功是： 当时，拉伸，外界做功，弹性力做负功。 当时，缩短，弹性力做正功。4.2.4 一轻细线系一小球，小球在光滑水平面上沿螺线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力向下拉绳。证明力对线做的功等于线作用与小球的拉力所做的功。线不可伸长。解 答设为绳作用在小球上的力。力对小球所做的功为将分解为沿方向和与垂直方向的两个分位移(为对
6、点的位矢)如图：又 绳子不可伸长 （是力的作用点的位移）4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以的速率向上行使，斜坡与水平的夹角的正切，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解 答取卡车为隔离体，卡车上下坡时均受到重力mg、牵引力F、地面支持力N和阻力f作用。受力分析如图所示：上坡受力分析下坡受力分析上坡时：卡车作匀速直线运动卡车的功率下坡时：卡车作匀速直线运动卡车的功率由题意：4.3.1 质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环。绳端作用着大小不变的力T=50N.木块在A点时具有向右的速率。求力
7、T将木块自A拉至B点的速度。 解 答TABABo做功为零由动能定理：式中利用积分公式：则上式注：关于T做功还有一种解法:其中T为常量，其受力点的位移可利用三角形求。4.3.2 质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上。不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F，F=60N.木块在处有向上的速度，求木块被拉至B时的速度。解 答重力做功 方向向上4.3.3 质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度向右运动。弹簧的劲度系数为，物体与支撑面之间的滑动摩擦系数为。求证物体能达到的最远距离为。解 答由： 所以：解一元二次方程：由舍去负
8、号：4.3.4 圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑。质量为m的活塞将气体密封。气体膨胀后的体积各为和，膨胀前的压强为。活塞初速度为。（1）求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时气体压强与体积满足恒量。（2）若气体压强与体积的关系为恒量，为常量，活塞末速率又如何？（本题用积分）解 答（1）（2）4.3.5 坐标系与坐标系各对应轴平行。相对于沿x轴以作匀速直线运动。对于系，质点动能定理为，,沿x轴。根据伽利略变换证明：相对于系，动能定理也取这种形式。解 答 由动能定理得： 最后可得：说明相对于系，动能定理的形式不变。4.3.6 带电量为e的粒子在均匀磁场中偏转。A表示发射带电粒子的离子源，发射的
9、粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后与C处在磁场洛仑兹力作用下偏转，然后进入漂移管道D。若粒子质量不同或电量不同或速率不同，在一定磁场中偏转的程度也不同。在本题装置中，管道C中心轴线偏转的半径一定，磁场感应强度一定，粒子的电荷和速率一定，则只有一定质量的离子能自漂移管道D中引出。这种装置能将特定的粒子引出，称为“质量分析器”。各种正离子自离子源A引出后，在加速管中受到电压为V的电场加速。设偏转磁感应强度为B，偏转半径为R.求证在管中得到的离子质量为.解 答正离子从离子源引出后，在加速器中受到电压V的电场加速。正离子获得的动能为(电势能)正离子的速度由于正离子在磁场受到洛仑兹力的作用而发生偏转
10、即：4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，球圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦。解 答以轻绳，圆柱体和框架组成的质点组所受外力有：圆柱体重力，框架重力，轻绳拉力和作用在框架上的水平力。其中轻绳的拉力和不做功。质点组所受内力：框架槽和小球的相互作用力、，由于光滑，所以、做功之和为零。质点组所力情况如图：根据质点组动能定理： （1）为圆柱体的绝对速度为框架的绝对速度。由于（见下图）将此式投影到图中所示的沿水平方向的ox轴上，得：带入
11、（1）式中解得：4.4.1 二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和2的劲度系数分别各为和。它们自由伸长的长度相差。坐标原点置于弹簧2自由伸展处。求弹簧组在和时弹性势能的表示式。解 答弹性力外力为当时，无势能，只有有势能。外界压缩弹簧做功使势能增加。设原点处为势能零点，则：时：原点为势能零点对于：外力做功对于：外力做功4.5.1 滑雪运动员自A自由下滑，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度刚好在水平方向，已知两点的垂直高度为25m。坡道在B点的切线方向与水平面成300角，不计摩擦。求（1）运动员离开B处的速率为，（2）B,C的垂直高度差h及沟宽d，（3）运动员到达平台时的速率。
12、解 答（1）运动员在A到B的滑动过程中，受到了重力和地面支持力作用。（忽略摩擦）。重力为保守力，支持力不做功，所以机械能守恒。以B点为重力势能零点，得到运动员离开B处的速率：（2）运动员从B到C做抛物线运动，当到达C点时，由题意知：沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。所以B、C的垂直高度（3）因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒：（4）d的高度:水平射程的一半4.5.2 装置如图所示：球的质量为5kg，杆AB长1cm，AC长0.1m，A点距O点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。球小球到铅垂
13、位置时的速度。不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解 答包含球杆弹簧的质点组受力如图所示：不做功。重力和弹性力为保守力（不计摩擦）系统机械能守恒设杆水平时势能为零 （1）（水平位置） （2）将（2）式代入（1）式4.5.3 物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连结，并在一水平圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m，物体Q的质量为5kg，由橡皮筋固定端至B为0.16m，恰等于橡皮筋的自由长度。求（1）物体Q的最大速度；（2）物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度。解 答 （1）取物体Q为隔离体在竖直方向上Q所受的力的矢量和为零。而在水平方向只受到弹力和光滑圆弧的水平方向的作用力作用，为保守力，不做功。所以机械能守恒。设弹簧势能零点为弹簧原点处： （B点速度最大）（2）在D点弹性势能为：因为 所以 4.6.1 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当粒子与氢原子相碰时，可使之迅速运动起来。按正碰撞考虑很容易证明，氢原子速度可达粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。试证明此结论（碰撞是完全弹性的，且粒子质量接近氢原子质量的四倍）。解 答设粒子的质量为4，氢原子的质量为；粒子的初速度为，氢原子的初速度为；正碰后，粒子的速度为，氢原子的速度为。由公式:
