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1、理 学 院 物 理 系 张 晚 云,大学物理竞赛培训,机械振动知识小结,一、简谐振动的定义（判据）,1、弹性回复力,2、动力学方程,3、运动学方程,其速度、加速度也有简谐振动的特征,理 学 院 物 理 系 张晚云,二、简谐振动的三个特征量 1、振幅 2、角频率 3、初相位,同一振动中位相差,与时间差的关系：,或由旋转矢量法确定,理 学 院 物 理 系 张晚云,注意弹簧的串、并联 及弹簧自身质量的影响,三、简谐振动的三种表示方法 1、 解析表达法 2、 振动曲线法 3、 旋转矢量法,理 学 院 物 理 系 张晚云,三、简谐振动的三种表示方法 1、 解析表达法 2、 振动曲线法 3、 旋转矢量法,
2、理 学 院 物 理 系 张晚云,理 学 院 物 理 系 张晚云,注意：熟练掌握旋转矢量法！,a、确定初相位,b、确定相位差或时间差,同一振动：,同频率不同振动：,c、解决振动合成问题,四、简谐振动的能量,理 学 院 物 理 系 张晚云,1、 由能量求振幅,2、 由能量求角频率,两边求导,理 学 院 物 理 系 张晚云,五、 简谐振动的合成,1、同方向同频率两个简谐振动的合成,理 学 院 物 理 系 张晚云,2、同方向同频率N个等振幅、初相位依次相差定值 的简谐振动的合成,理 学 院 物 理 系 张晚云,、同方向不同频率的简谐振动的合成, 2- 1 2+ 1,随缓变,形成“拍”,理 学 院 物
3、理 系 张晚云,4、相互垂直的同频率的简谐振动的合成,特别地,当振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。,理 学 院 物 理 系 张晚云,六、阻尼振动,七、受迫振动,1、稳态解,x=Acos( t+),驱动力频率,2、共振,1）速度共振：,若 0 则 r 0 ，称尖锐共振,2）位移共振：,理 学 院 物 理 系 张晚云,机械振动典型问题及示例,一、简谐振动三类问题,1.简谐振动的运动学问题,运动状况,振动曲线,三个特征量,运动学方程,2.简谐振动的动力学问题,受力分析,牛顿定律,动力学方程,初始条件,3.简谐振动的合成,（通常与波的相干叠加相结合）,理 学 院 物 理 系 张晚云,1.简谐振动的运动学问
4、题举例,例1. 有一半球形光滑的碗，小球1在碗的球心处，小球2在碗壁离碗底部中心A很近的地方，如图所示，现同时释放两球，所有阻力均不计，则小球1与小球2到达碗底A所需时间之比为 。,A,小球1作自由下落：,小球2作简谐振动：,例2. 一摆钟在g=9.800(SI)处走时准确，如移至另一地点后，每天慢10s，求该地的重力加速度值。,解：由单摆的周期公式,两边同时微分，得：,标准钟的秒摆周期T=1s,移地后的周期：,理 学 院 物 理 系 张晚云,理 学 院 物 理 系 张晚云,2.简谐振动的动力学问题举例（两种类型）,类型,证明或判断振动物体是否作简谐运动,判断简谐运动的依据：,动力学方法,能量
5、法,动力学方法的步骤：,确定振动系统，以平衡位置处为原点建立坐标；,分析处于任意位置处系统各物体的受力情况；,列出各物体的动力学方程，与上述微分方程比较。,能量法的步骤：,确定振动系统，分析振动系统的机械能是否守恒；,以平衡位置为原点建立坐标,写出任意位置机械能；,把上述结果对时间求一阶导数，并将所得结果与简谐振动 的动力学判据进行比较。,类型,物体与振动系统相互作用而引起的简谐运动,理 学 院 物 理 系 张晚云,例1. 某液体的密度随深度的增加而线性增大，且已知其表面处及深度为D处的密度分别为 、 。现有一密度为 的小球于深度为D/2处由静止开始下落。若忽略液体阻力，试求该物体的运动方程。
6、,理 学 院 物 理 系 张晚云,例2. 如图所示，在倾角为 的斜面上有一倔强系数为k的弹簧，其一端固定，另一端与一质量为m的实心圆柱体的轴连接，圆柱体在斜面上作纯滚动。若忽略轴承的摩擦，试证明该圆柱体的运动为简谐振动。,平衡位置,自然位置,理 学 院 物 理 系 张晚云,例2. 如图所示，在倾角为 的斜面上有一倔强系数为k的弹簧，其一端固定，另一端与一质量为m的实心圆柱体的轴连接，圆柱体在斜面上作纯滚动。若忽略轴承的摩擦，试证明该圆柱体的运动为简谐振动。,平衡位置,自然位置,理 学 院 物 理 系 张晚云,例3. 弹簧振子中的小球质量为M，弹簧的一倔强系数为k，弹簧的质量为m，且该质量是均匀
7、分布的。试求无阻尼振动的周期。,例4. 一半径为R的光滑圆环以恒定的角速度绕其竖直的直径旋转，圆环上套有一小珠。试求在R2g的情形下：(1) 小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示); (2) 小珠在平衡位置附近作小振动的角频率。,理 学 院 物 理 系 张晚云,解：(1)在平衡位置时,(2)当小球偏离平衡位置时,小球除了受正压力N，重力作用mg 外，,还受到一惯性力:,切向:,理 学 院 物 理 系 张晚云,理 学 院 物 理 系 张晚云,理 学 院 物 理 系 张晚云,例5. 一不可伸长的细绳穿过光滑桌面的小孔，一端系一质量为m的小球，另一端系一质量为M的重
8、物。小球在桌面上以 作匀速率圆周运动，此时重物静止不动。试证明：当重物受到竖直向下或向上的微扰后，它将在竖直方向作简谐振动，并求其振动周期。,例6.如图,一弹簧振子由劲度系数为k 的弹簧和质量为M的物块组成，将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m、速度为v01的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。试求： (1)振子以后的振动振幅与周期； (2)物块从初始位置到最高点所需的时间。,自然位置,解：建立如图所示坐标，在平衡位置,(1),由动量守恒,得：,理 学 院 物 理 系 张晚云,自然位置,(2),最高点的相位：,理 学 院 物 理 系 张晚云,理 学 院 物 理 系 张晚云,三、阻
9、尼振动与受迫振动问题举例,1. 固有频率为 的弹簧振子，在忽略阻尼的情况下，受到频率为 的余弦策动力作用，作受迫振动并达到稳定状态，振幅为A。若振子在经过平衡位置时撤去策动力，此后作振幅A的自由振动，则A与A的关系为 。,提示：撤去策动力前、后振子在平衡位置的速率不变。,振子受稳态受迫振动时， 在平衡位置处的速率为：,振子自由振动时， 在平衡位置处的速率为：,理 学 院 物 理 系 张晚云,2. 一摆在空中振动，某时刻振幅为A0= 0.03m，经过t1=10s后，振幅变为 A1=0.01m，问:由振幅为A0时起经多长时间，其振幅减为A2=0.003m ？,=20.9(s),=0.110,解：,
10、理 学 院 物 理 系 张晚云,五、补充练习题,1. 设想沿地球直径凿一隧道，并设地球为密度 =5.5l03kg/m3的均匀球体。试证: (1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作简谐振动； (2)物体由地球表面落至地心的时间为,(提示:物体在地球内部所受引力的计算，与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似),式中G是引力常量。,2.一质量为m，半径为r 的均匀实心小球在半径为R的球形碗底作纯滚动。求微小振动的周期。,理 学 院 物 理 系 张晚云,3.质量为 可在光滑水平直导轨上滑动，滑块经长为l的刚性轻杆与一质量为 的重锤相连。重锤与滑块可绕滑块无摩擦地自由转动。在t=0时刻，细杆与铅垂线夹角 由静止释放。试求：重锤的运动轨迹及小角度下滑块的运动方程。,理 学 院 物 理 系 张晚云,4.质量为 的小球在光滑水平桌面以角速度 作匀速圆周运动，所需的向心力由与其相连的弹簧提供。弹簧的倔强系数为k，另一端固定。现沿径向轻击小球。试求：小球的径向振动周期。,理 学 院 物 理 系 张晚云,理 学 院 物 理 系 张晚云,
