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1、维修策略,维修重要性：,许多实际系统在使用过程中，往往由于维修性问题考虑不周，而使维修费用大大超过系统本身费用的很多倍。 特别是系统突发性故障，常常会造成巨大的经济损失，有时会招致灾难性的后果，因而在故障前进行预防性维修是一个及其重要的措施。,目录：,第一节：基本维修策略1.1 年龄更换策略,年龄更换策略是：当部件在达到指定的年龄T时，仍正常，则对部件作预防性更换；若部件在T以前发生故障，则对部件作时候更换。,1.2成批更换策略,1.3故障小修的周期更换策略,2.1考虑可用度的维修策略,系统可用度,2.2备用部件的预防性维修,2.3故障小修的周期性维修策略,3备件定购策略 3.1与部件年龄有关
2、的定购策略,维修策略研究,维修的方式： 1、事后维修：指部件故障后，进行维修或更换。 2、预防性维修：指在故障发生前，进行检测、修理或更换。 维修性模型研究受到很多因素的影响，下图汇总了影响优化维修策略的相关因素：,1年龄更换策略：当部件在到达指定的年龄 仍然正常，则对部件作预防性更换；若部件在 之前发生故障，则对部件进行事后更换。 假设：（1）部件的寿命 的分布函数为 ； （2） 和 分别表示一次事后更换和预防更 换的一切损失； （3）更换时间忽略不计。 问题：选择最优的 使长期运行的单位时间的期望损失 最小。 #*#-*# T=“”。,问题的解： 令 为经长期运行单位时间的期望损失， 即
3、， 事实上，系统在更换时刻为系统的再生点，由更新理论知， 。 周期长 ，（ 为事件A的示性函数）故平均周期长为 平均周期长 。 一个周期内的平均期望损失 。因此， ， 问题转化为，求T使 。,对 求导, 得 , 令上式等于零,得 *（#） 另一方面, 是连续严格单调递增函数。因为，对任意 ，有 （如果部件的故障率 函数为连续严格单调递增， ）,当 时，则 ，（因为 此时方程（#）有唯一解。 当 时，则 。 因此， ，对所有有限的 ， 即得出 ，对所有有限的 ， 因而得 。,例子：部件的寿命服从 分布 。此时 ， ， ，且 由于 连续严格单调递增。如果 ，有限 存在的条件是 ，既当 时，存在唯一
4、的有限 解 ，它满足 当 时，则 。 如果 ，有 ，用Maple软件解得 fsolve(3*(x-1+exp(-x)/(1+x)=2,x=020); 4.979364707,2. 更新过程(Renewal process) 设 是独立同分布的非负随机变量序列，它们的分布函数为 ，均值为 ，且满足 。令 显然，有 ， ， 其中， , 为 的 重卷积。 令 ， 是一个取非负整数值的随叫随到过程，我们称它为由随机变量序列 所产生的更新过程，称为 更新寿命，称 为更新时刻（再生点）。 表示 时间内的更新次数。,因为事件 和事件 是等价的。因此，经常将部分和过程 也成为更新过程。 由于 ，因而得， ，由
5、此得 *（&） 我们称 为更新函数(Renewal function)。 如果我们用 来替换方程(&)中的 得出， 以上方程成为更新方程。,令 （称为更新密度）。由更新方程得， 用 变换解得此方程为， 再用反Laplace变换得出 。 格点分布：一个非负随机变量的分布函数是格点分布，如果存在一个 ，使 。 满足上面条件的最大的称为格点分布的周期。,定理1. 。 定理2. 如果 不是格点分布，则 定理3. 如果 不是格点分布，且 在 非负非增，并 ，则 （注在上面三个定理中，当 时，所有极限均为零） 定理4. 设 是第 个更新寿命 中的报酬，且 独立同分布。令 是它在 时间内的总报酬，我 们有，
6、如果 有限，则 ，以概率为1。,3. 成批更换策略 它是指部件在给定的时刻 作预防性更换，部件在故障时作事后更换。如下图所示： #*#*# 假设：（1）部件的寿命 的分布函数为 ； （2） 和 分别表示一次事后更换和预防更换的 一切损失； （3）更换时间忽略不计。 问题：选择最优的 使长期运行的单位时间的期望损失最小。 我们有， *（%）,其中， 表示时间 内部件事后更换的期望次数。令 ，得 ，令 。如果 连续严格单调递增，则 连续严格单调递增。因为，对任意 ，有 其中， , 因此， 连续严格单调递增。 由于， 当 时，方程（%）有唯一解。 当 时，对有限的 ，有 ，因此， 。,例子：部件的寿
7、命的分布函数为，用Maple得 F:=x-1-(1+x)*exp(-x); F := x - 1 - (1 + x) exp(-x) D(F); x - -exp(-x) + (1 + x) exp(-x) with(inttrans): laplace(1+t)*exp(-t)-exp(-t), t,s); 1 - 2 (s + 1), invlaplace(1/(s+1)2)/(1-(1/(1+s)2),s,t);#This is m(t) 1/2 - 1/2 exp(-2 t) int(1/2-1/2*exp(-2*x),x);# this is M(t)-c 1/2 x + 1/4 e
8、xp(-2 x) # We get c=-1/4, because M(0)=0, # Therefor M(t)=1/2*x-1/4+1/4*exp(-2*x);,因此，我们有， 因此，当 时，存在优化解 满足下列方程， 。,4、考虑可用度的年龄维修策略 假设：（1）部件的寿命 服从一般分布 ，其均值为 ； （2）当部件工作到指定的时间 仍没有发生故障，则对部件进行预防性维修，预防维修时间 服从一般分布 ，其均值为 ； （3）当部件工作到指定的时间 之前发生故障，则立即对部件进行维修，维修时间 服从一般分布 ，其均值为 ； （4）部件修复如新，且 相互独立。 问题：求使系统的稳态可用度达到最
9、大。,#_#_*_#_*_* 我们用更新过程来求系统的可用度： 令,因此，系统以下面序列行进： （iid样本） 为求系统的可用度，我们引进一个随机过程 ，其中,因为，,故，我们有，,用Laplace变换得， ， 其中， （成为LS变换）。 当 或 和 为非格点分布时， 必为非格 点分布。由定理3知， 存在。由Tauber定理得， ，,将上式改写为： ， 此问题与我们的第一个问题类似。,5时间检测策略 假设：1.部件寿命服从指数分布： ; 2.经过给定的时间 对部件进行检测，若发现部件故障，就立即进行更换；若部件正常，则继续工作； 3. 分别表示一次检测和事后更换损失， 表示部件故障单位时间的损失； 4.检测时间与故障更换时间不计。 问题：求最优检测时间 ，使长期运行单位时间的期望损失最小。 _#_*#_#_*#_*# 解：易见，相邻两次更换的时间是一个周期。当部件的寿命 满足关系： 时，周期长为 ， 一个周期内的损失为： ，因此， 平均周期长,一个周期内的平均损失为： 然后，求解 ，即可。,
