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1、Ch5 常见概率分布 正态分布 二项分布 Poisson分布,1. 分布函数F(X) 即总体中个体值小于或等于X的观察 值所占的比例,F(X)0，F(-)=0，F()=1,2. 密度函数f(X) 对离散型随机变量，f(X)是变量取X值的概率，常记为P(X)，显然，P(X)0，P(X)=1；对连续型随机变量，f(X)是F(X)的导函数。即,基本概率：,5.1 正态分布,图5.1 频数分布逐渐接近正态分布示意图,德国的钢镚和10马克的纸币上都留有高斯的头像 和正态密度曲线,正态分布又称Gauss分布(Gaussian distribution),5.1.1 正态分布的定义,若随机变量的密度函数是：
2、,-X,则称随机变量X服从正态分布，X为正态变量，简记为XN(,2),正态分布只有一个高峰，位置在X =。这一点由f(X)的定义即知。总体中位数亦为。 正态分布以均数为中心，左右对称。 正态分布的两个参数，和，决定了分布的位置和形状。其中是位置参数，是变异度参数,5.1.2 正态分布的性质,图5.2 不同均数时的正态分布示意图,图5.3 不同标准差时的正态分布示意图,正态变量的线性变换,若XN(,2) ，则经过下面变换后的u成均数为0，方差为1的正态分布 ，称为标准正态分布(standard normal distribution)，简记为Z N(0,1),z称为标准正态(离)差(standa
3、rd normal deviate)。 标准正态分布的密度函数为(u):,-z,图5.4 一般正态分布变换成标准正态分布示意图,5.2.3 正态曲线下面积的分布规律,正态曲线下，横轴上的一定区间的面积占总面积的百分数，用以估计当资料服从正态分布时，某区间的例数占总例数的百分数(频率分布)，或变量值落在某区间的概率(概率分布) 。 正态曲线下一定区间的面积，可以通过对密度函数 的积分来求得。反映正态曲线下，横轴尺度自-到X 的面积， 即左侧累计面积(概率) 或频率。 通常都把一般的正态分布变换为标准正态分布Z , 通过Z 的分布估计频率比较方便。,正态分布面积,标准正态分布面积,【例5.1】求标
4、准正态分布曲线下区间(-,1.96)的面积 (1) 先求区间(-,-1.96)的面积，查附表 ，得标准正态分布曲线下区间(-,-1.96)的面积是0.0250 (2) 区间(-,1.96)的面积为1-(1.96,)的面积，即1-0.025=0.975,【例5.2】求标准正态分布曲线下区间(-,-2.58)的面积与区间(2.58,)的面积,(-,-2.58)的面积是0.0049，约为0.5。区间(2.58,)的面积亦为0.5,【例5.3】求标准正态分布曲线下区间(-1,1)的面积,区间(-1,1)的面积 1-2(-,-1)的面积 1-20.1587 0.6826,有三分之二的女子与平均数相差不到
5、一个标准差,有三分之二的男子与平均数相差不到一个标准差,一般正态分布曲线下的面积的计算法：,【例5.4】 求正态分布N(128.64,4.852)曲线下区间(119.13，138.15)内的面积。, 先用求对应的u值,ZL = (119.13-128.64)/4.85 = -1.96 ZU = (138.15-128.64)/4.85 = 1.96, 查u界值表，得面积,(-1.96,1.96)的面积 1-2标准正态分布曲线下区间(-,1.96)的面积 1-20.025 0.95,5.1.4 正态分布的应用, 概括估计变量值的频数分布,【例5.6】 例2.1中，某地120名7岁男童的身高，已知
6、均数 =128.64cm，标准差s =4.85cm，试(1)估计该地7岁男童身高在120cm以下者占该地7岁男童总数的百分数。(2)分别求 1s， 1.96s， 2.58s范围7岁男童人数占该组儿童总数的实际百分数，说明与理论百分数是否相近。,1) 按式(5.2)求Z ：,查附表1，得0.0375，即该地7岁男童身高在110cm以下者，估计约占3.75,2) 计算结果见表5.1,表 5.1 120名7岁男童身高的实际分布与理论分布比较,很多医学资料是呈偏态分布的，有的经过变量变换可转换为正态分布。 如环境中某些有害物质的浓度，食品中某些药物的残留量，某些临床检验结果，某些疾病的潜伏期以及医院病
7、人住院天数等。 如果能转换为正态分布(即X服从对数正态分布)，亦可按正态分布规律处理。,2、 制定参考值范围,参考值范围(reference ranges)，又称正常值范围(normal ranges)， 指绝大多数正常人的某指标范围。 它来源于临床上对疾病诊断和治疗的实际需要，系指正常人的解剖、生理、生化等各项指标观察值的波动范围。 如：成人白细胞总数的正常值范围。 食品、空气、水、化装品的卫生制定。 儿童各项生长发育的指标。,1）确定正常值范围的一般原则和步骤 抽取足够例数的正常人样本 根据样本数据来确定的； 正常人是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的人 ； 如血清谷丙转氨酶活性的正
8、常值， 选取正常人的条件为肝、肾、心、脑、肌肉等无器质性疾患，近期无特殊用药史（如氯丙嗪、异烟肼等），测定前未作剧烈运动等。 一般认为每组应在100例以上，但不要片面追求大样本 。,对选定的正常人进行准确而统一的测定 严格控制检测误差 ：包括分析仪器的灵敏度，试药的纯度，操作技术的熟练程度，标准的掌握等。 决定取单侧范围值还是双侧范围值 双侧：白细胞 单侧：肺活量 选定适当的百分范围 正常值范围的意思是绝大多数正常人的观察值都在此范围以内。这个绝大多数，习惯上指正常人的80，90，95（最常用）或99等，需根据正常人和病人的数据分布选定百分界限。,如，正常人样本确定了血清谷草转氨酶正常值单侧9
9、5上限为37U/L。即容许有5的正常人被判为异常，称为假阳性；也可能有肝功能异常的病人，其血清谷草转氨酶在37U/L 以下， 即假阴性。 若提高上限值，假阳性可以减少，但假阴性必然增加。 正常值范围的确定，平衡假阳性和假阴性，有两种情况： 一是正常人和病人的数据分布没有重迭，这时只要求减少假阳性就行了； 二是正常人和病人的数据分布有重迭，这时需要兼顾假阳性与假阴性。 估计界值,2）制定参考值范围的方法,正态分布法 用于服从正态分布或近似正态分布的资料,表 5.4 常用u值表, 参考值范围() 单侧 双侧 80 0.842 1.282 90 1.282 1.645 95 1.645 1.960
10、99 2.326 2.576 ,【例5.6】某地调查正常成年女子104人的血清总胆固醇，近似服从正态分布，得均数 =4.03mmol/L，标准差S=0.659mmol/L。试估计该地成年女子血清总胆固醇的95参考值范围。 下限: -1.960s = 4.03-1.960(0.659) = 2.74(mmol/L) 上限: +1.960s = 4.03+1.960(0.659)= 5.32(mmol/L),.百分位数法,样本含量较多，分布趋于稳定，样本含量不少于150为宜。 其优点是可用于任何分布甚至分布不明的资料。,【例5.7】用硫酸-高锰酸钾-硝酸消化法和无火焰原子吸收光谱法测得某市238
11、名正常人发汞值如表5.6，试确定该市发汞值的95正常值范围。,发汞值只以过高为异常，故取单侧95上限。, 发汞值 频数 累计频数 累计频率 (g/g) f f (%) 0.3 20 20 8.4 0.7 66 86 36.1 1.1 60 146 61.3 1.5 48 194 81.5 1.9 18 212 89.1 2.3 16 228 95.8 2.7 6 234 98.3 3.1 1 235 98.7 3.5 0 235 98.7 3.94.3 3 238 100.0 ,(3)质量控制。,作为上下警戒值， 作为上下控制值,(4) 正态分布是许多统计方法的理论基础，常用的u 检验就是以正
12、态分布为理论基础的假设检验方法。统计推断中常用的2分布、t分布与F 分布等都是在正态分布的基础上推导出来的。,具 体 步 骤,参考值范围的估计方法,5.2 二项分布,5.2.1 二项分布的定义,毒理试验中，动物的生存与死亡； 诱癌试验中，动物发癌与不发癌； 接触某危险因素的个体发病与不发病； 病人的治愈与未愈； 理化检验结果的阴性与阳性,两种对立的结果，每个个体的观察值取且只取其中之一。,【例5.8】设小白鼠接受某种毒物一定剂量时，其死亡率为80 ，若每组各用三只小白鼠（分别标记为甲、乙、丙）逐只做实验，观察每组小白鼠存亡情况,从阳性率为的总体中随机抽取含量为的样本，其中阳性数恰好为X例的概率
13、为：,称 X 服从参数为 n 和 的二项分布，记为：X B(n,)。,5.2.2 二项分布的性质,1、二项分布的均数与标准差,若均数与标准差不用绝对数表示，而用率表示,【例5.9】 求例5.8平均死亡鼠数及标准差。,以=0.8，n=3代入式(5.10) (5.11)，得,2、二项分布的累计概率(cumulative probability) 常用的有左侧累计和右侧累计两种方法,最多有k例阳性的概率(左侧）,最少有k例阳性的概率（右侧）,例5.10 根据以往经验，用某药治疗某病的治愈率为70，今有10 个患者用该药治疗，问至少治愈8人的概率为多少? 最多治愈1人的概率为多少? 至少治愈8人的概率
14、 P(X8)P(8)P(9)P(10) 0.2334744410.1210608210.028247525 0.382782787 最多治愈1人的概率为：,3、二项分布的图形,图5.7 二项分布示意,4、二项分布的正态近似 当不接近0或1，n不是很小，n5且n(1-)5时，二项分布近似正态分布。且有：,5.2.3 二项分布的应用条件,1) 各观察单位只能具有互相对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等。 2) 已知发生某一结果(如阳性)的概率不变，其对立结果的概率则为1-。 实际工作中要求是从大量观察中获得的比较稳定的数值。 3) n次试验在相同条件下进行，且各观察单位的结果互相独立。即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性。,5.2.4 二项分布的应用,二项分布是二类分类变量统计分析工作的理论基础，特别是用于总体率的参数估计与率的假设检验。还用于产品合格率的质量控制、研究某些
