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1、习题 6-11 利用定积分的几何意义求定积分：(1) ； (2) 102xd 20axd(0)a解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 表示由直线 及 轴所围的三角形1 ,1yx的面积,而此三角形面积为 1,所以 02xd(2) 根据定积分的几何意义知, 表示由曲线 及2a2,0yaxa轴所围成的 圆的面积,而此 圆面积为 ,所以 .x1414 2014ad2 根据定积分的性质，比较积分值的大小：(1) 与 ； (2) 与 120dx130 10xe10()x解 (1) 当 时, ,即 ,22()x23又 ,所以 31100dx(2) 令 ,因 ,所以 ,()1()xfefe()0fx从而 ,
2、说明 ，所以 .0x1100xd3 估计下列各积分值的范围：(1) ； (2) ；421()xd 31arctnx(3) （ )； (4) 2axe020xed解 (1) 在区间 上，函数 是增函数，故在1,4 上的最大值1,4()1f,最小值 ,所以 ,(4)17Mf()2mf42)7(41)即 416)5xd(2) 令 ,则 ,当 时, ,从()arctnfx 2(arctn1xf3()0fx而 在 上是增函数,从而 f(x)在 上的最大值 ,最小f13,3M值 ,所以()6m31 12()arctn(3)93xd 即 312arctn93xd (3) 令 ,则 ,令 得驻点 ，又 ，2(
3、)xfe2()fe()0fx(0)1f,a0 时, ,故 在 上的最大值 ，最小值2a21ax,aM,所以2m.22axde(4) 令 ,则 ,令 得驻点 ,又2()xfe2()1)f()0f12x(0),f,从而 在 上的最大值 ,最小值 ,所以124(),2fff0, 2Me4me21240xed习题 6-21 求下列导数：(1) ; (2) ；20xdt 5ln2xtde(3) ; (4) ( )cos()dsixt0解(1) .2201xt(2) .55ln2txed(3) .cos22 20()cos()(cosincos()xtdxxx(4) .iinixx tt2 求下列极限：(
4、1) ； (2) 02arctnlimxd20elimxttd解 (1) 00 22 002 1arctnarct arctn(1)lilililim2xx xx(2) 22 222200 00limlilimlixx xxtt txtxt tedededed 2 2220 200lilili1xt xxxxede3 求由方程 所确定的隐函数 的导数00ecosytdt ()y解 方程两边对 求导数得: x, ，0yx coseyx又由已知方程有 ,即 ，00sineyxtt1sin0ey即 ,于是有 1csi1yx4 计算下列定积分：(1) ； (2) ；1xd21dx(3) 设 ，求,0,
5、()sin,2fx0()fx(4) 30()d解(1) .443211x(2) 2012221 01()()()dxdxdxd2322331016(3) 22200 220()sincos8xfxdxdx (4) 33 3()()d20215()xx5设函数 在区间 上连续,在 内可导,()fxabab, ；证明：在 内有 ()0fx1()()xaFftd,ab()0Fx证明 2 211()()()() )x xa aftfxfftd 21()(,)()fafaxbx,)fxba由已知条件可知结论成立习题 6-31 计算下列积分：(1) ； (2) ；3sin()xd 32(15)dx(3)
6、； (4) ；154x 320sinco(5) ； (6) ；2cosud 2e1ldx(7) ； (8) ；321x20(9) ； (10) ln32exd 32dx解 (1) 33 3si()sin()cos()xd.42co03(2) .123221(5)5(5)(5)dxdxx (3) .11 1444xx(4) .23342200 0sincocoscosdd(5) 22221cos1cos cos()4uuddud.263sin864(6) .22 2111(l)()llnee edxxx(7) 令 ，则 ，当 时， ；当 时， ；ta2sctd4t3xt于是 3 3322144o
7、21insixtt(8) 令 ,则 ,当 时， ；当 时, ；sinxtcsdt0xx2t于是 22000 01o(1cos2)(sin)ttdt(9) 令 ，则 ，当 时， ;；当 时, ；xetln,dtxtlnxtl3xt于是 ln33322 2 2111(lln)xddtttt (10) 33322 2()lnxx11lnl2l55432 计算下列定积分：(1) ； (2) ；10exd e1lnxd(3) ； (4) ；41ln324si(5) ； (6) ；20ecosxd 21logxd(7) ； (8) (in) esin()解 (1) 111000xxxxee2ee(2) 2
8、 221 111lnlln()4ee eexdxxdxx(3) 4 444 28ln8l(4) 333244 4cottcotsinxdxxxd3413lnlnsi929(5) 22200 0cosiisixxxxedeed 2220cosco4cosxde20e4xe于是 201cos()5xd(6) 2 222 11121lglnlnlllnxxxdx 3(4ln)4ln2(7) 22320001(si)cos(sin)xdxdxxd 3 30 011(isi)co6464xcos2cxxd3301in64864(8) 11sin(l)si(l)cs(l)e exdxx1oilneedsi
9、ns()所以 1(l)ico2exde3 利用被积函数的奇偶性计算下列积分：(1) ； （2）12ln()x 12sinxd(3) ; (4) 22(4)xdx 42cosd解 (1) 是奇函数，2ln1()0xdx(2) 是奇函数， ，2si112sin因此 1121 arctnxdx(3) 222(4)(4)46xd(4) 22220020 1coscos8cos81384 dd4 证明下列等式：(1) 证明： ；1100()()mnnmxdxd(2) 证明： ( )；1221xx(3) 设 是定义在区间 上的周期为 的连续函数，则对任意 ，()f,T(,)a有0()()aTfxdfx证
10、(1)令 ，则 ，当 时， ；当 时， ；1xtdt1t0t于是 ，0 10100()()()()mnmnnmnmtdtxd 即 10xdx(2) 令 则 ，xt2dt于是 ，111112 2222txxt t dtt即 1122xxd(3) 因为 ，而0()()()aTTaTfxdfxfxd 00()aattftd令0()()aTTafxfxx故 0Tad4 若 是连续函数且为奇函数，证明 是偶函数；若 是连续函数且为偶()ft ()xft()ft函数，证明 是奇函数0xdt证 令 ()()Ff若 为奇函数，则 ，令 ，可得ft)(ftftu,000( )()()xxxddfFx所以 是偶函
11、数0()xFftd若 为偶函数，则 ，令 ，可得ft()ftftu,000()()()()xxxdfduFx所以 是奇函数0()xFftd5 利用分部积分公式证明：00()()dxxufudf证令 则 ,0()()ufdFf则 00()()()xx xuFu0 0()x xfdfdfu0()()x xf d0u习题 6-41 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 与 ；2yx2x(2) 与 及 ；e0ye(3) 与 ；4(4) 与 及 ；2yx2yx(5) 与 及 ；1(6) 与 ；2(7) 与 ；,xxye1(8) 与 sin(0)20,1y解 (1)两曲线的交点为 ，取 为积分变量，
12、 ，面积元素,(x1,x，于是所求的面积为2()dAxd11238()()Ad (2) 曲线 与 的交点坐标 ， 与 的交点为 ，取 为积xye,exy0(,1)y分变量， ，面积元素 ；于是所求面积为1,lnd111(l)ee eAyyy(3)曲线 与 的交点为 ，取 为积分变量， ，面积元24yx0(2,0)x2,x素 ，于是所求的面积为()dA223(4)()xd(4) 曲线 与 的交点为 ； 与 的交点为 ；2yx0,12yx(0,)24它们所围图形面积为： 12122 2010()()()Axdxdxxd2376(5) 曲线 与 的交点为(1,1)， 与 的交点为 ；取 积分变1yx1yx21(,)2x量， ，面积元素 ，于是所求的面积为,2x1()dAx2221 13(ln)l(6) 曲线 与 的交点为 ，取 作积分变量，yx4,， 和
