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1、高等数学（II）试题（A）一 填空 （每小题 3分 共 15分 ）1 曲面 在点 的切平面的方程为_。21zxy(2,4)2 设隐函数 是由方程 确定的，则 ,zxy2zyex。_0,zxy3 设 是平面 在第一卦限部分，则 1xyz。()zdS4 设 周期为 ，且 ， 是 的 Fourier级数的()fx2,0()xef()sxf和函数，则 _。0s5 设幂级数 在 处条件收敛，则幂级数 的收敛半径1nax213nax。_R二 选择（每小题 2分 共 10分 ）1 设 D是平面区域，则下面说法正确的是（ ）（A ） 若 在 D上可微，则 的一阶偏导在 D上一定连续；(,)fxy(,)fxy（
2、B） 若 在 D上一阶偏导存在，则 在 D上一定可微；,（C） 若 在 D上一阶偏导存在，则 在 D上一定连续；(,)f ()f（D） 若在 D上 与 均连续，则 。xyf,xyyx2 下列级数中绝对收敛的级数是 （ ）（A） ； （B） ; 1()2n1ln()（C） ; （D） 。1sin1n3 直线过点 且与直线 垂直相交，则交点的坐标是（ ）(0,3)xyz（A） ； （B） ； （C） ；（D） 。2(,)(,2)(0,)4 方程 表示 。2480yzx(A) 单叶双曲面； （B） 双叶双曲面 ； （C） 锥面 ； （D） 旋转抛物面。5 一阶微分方程 的类型是（ ）23()dyd（
3、A）全微分方程； （B） 可分离变量方程；（C）齐次方程； （D）一阶线性微分方程。三 （6 分） 设 是具有二阶连续导数的函数， ，求 ufr22rxyz。2ux四 （7 分）计算 ，其中 是直线 及双曲线 所围2DxIdy2,xy1xy区域。五 （7 分）修建一个容积为 V的长方体地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地面每单位面积造价的 3倍和 2倍，问如何设计仓库的长、宽和高，可使它的造价最小。六 （7 分）求微分方程 的通解。(3)xye七 （7 分）计算 ，其中 是由曲面 及Izdv 24zxy所围的空间区域。23xyz八（7 分）求 ，其中 L是曲线 ，取逆时针方向。2()
4、()Lxyy 21xy九（7 分）计算曲面积分 ，其中 是锥面222(coscos)yzdS 介于 之间的部分，而 是 在2zxy0,1z,处的外法线向量的方向余弦。(,)十 （7 分）已知如下命题成立： 设 是单调减少的正数列，级数 收敛当且仅当na1na收敛。 21kka1）请用此命题证明 当 时发散，而当 时收敛；1pn011p2）证明所给的命题。答案一 填空 （每小题 3分 共 15分 ）1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 。4260xyz216二 选择（每小题 2分 共 10分 ） D A B D C三 （6 分）解 4()uxfr.222231()uxffrr四 （7 分）解 。2
5、1:,Dyx2212xIdy221()x194五 （7 分）解 设地面每个单位造价为 1，则墙壁和仓顶分别为 2， 3。 设长宽高分别为 。则现在的要求是 在 ,xyz(,)4fxyzxzy约束下的极值。1yzv考虑 ，.1(,)()Fyzxv则条件极值点满足一下方程.30xyzzxyv由上述方程组可解得 33(,)(,)xzv根据实际情况可知，此时造价最小。2六 （7 分）解 特征方程为 120,.rr对应的齐次方程的通解为 .221xYce不是特征根，于是可设特解为 ()3),1xfe.2*()xyeab代入到原方程化简可 3x于是 23)x所求的通解为 121()xYce七 （7 分）解
6、 由 及 ，得4zy23z， .223xy于是 .322340Izdvdz2 134八（7 分）解 原式 .3()()Lxydy设 D的边界是 L，根据格林公式， 原式 .4(1)0d九 （7 分）解 原式 ， 取外侧， 1222yzxdzxy设 ，取上侧，则21,1zx2122ydzdxyzv . 2210而 11 1222ydzxzdxy 于是 原式 。.12十 （7 分）1 设 ，则 ，于是由已知 的敛散性1npa12()kpka1pn与等比数列 敛散性一致。11(2)kk因此当 时原级数发散，而当 时收敛； 10p1p2 令 ，当设 是单调减少的正数列时，有 12kkiiban.31122kkaa由比较判别法 收敛当且仅当 收敛，1kb 21kk即 收敛当且仅当 收敛。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2。1na2kka
