第四章本构方程

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1、Chapter 4 Constitutive Equations 本构方程 4-1. Introduction 引言 应力分析：从静力学的角度得到力的平衡方程和边界条件。 应变分析：从几何学的角度研究变形几何方程和边界条件。 本构关系：研究应力与应变之间存在的内在联系。 4-2. Experiments 拉伸和压缩时的应变应变曲线 1、低碳钢拉伸试验曲线： 线弹性阶段：OA 弹性阶段：AB B点应力：弹性极限 屈服阶段：CD C点应力：上屈服极限 D点应力：下屈服极限 塑性流动阶段：DH 强化阶段：H点以后 缩径阶段：b点以后,2.无明显屈服阶段材料 应力应变曲线: 屈服极限规定用产生0.2塑

2、性 应变所对应的应力来表示。记为0.2 3.包辛格(J.Bauschinger)效应(反向屈服效应): 具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高而在相反方向降低的效应。一般认为这是由多晶材料晶界间残余应力引起的。 通常 且 若 称为理想包辛格效应。 4.真实应力应变曲线讨论： =P/A0 A0：试件初始截面积，为名义应力 T=P/A A：试件变形后截面积 T为真实应力 T,利用体积不可压缩假设： 则 作图： 故有 *对简单拉伸，考虑泊松效应 若纵向应变 ，则侧向应变为： 截面积 体积 体积变化,4-3.变形能函数 物体受力变形的过程，其本质上是一个热力学过程。 (1)等温

3、过程： 物体在变形过程中，各点的温度与周围介质的 温度保持平衡。 (2)绝热过程： 物体在变形过程中不产生温度的变换。即：物 体温度没有升降，热量无损失或增加。 由热力学第一定律，物体在变形过程中总能量的变化： K +U =A +Q 其中： K 为动能的变化， K 为物体的动能 U 为变形能的变化，U 为物体的变形能 A 为外力功的变化，A 为变形过程中外力做的功 Q 为热量的变化，Q 为物体变形吸收(或散发)的热量,设物体的体积为V，变形位移ui，受外力Fi作用 则物体的动能变化,式中 为速度分量， 为加速度分量,注意到,故有,外力功的变化： 式中Fi为体力，Ti为面力，S为物体的表面积 利

4、用应力边界条件 和高斯积分公式 的展开式：,则面力功的变化：,注1：,则面力功的变化：,*注2：取,便有,即有,则面力功的变化：,*注3：考察 故有 其中， 为应变分量，表示物体的纯变形部分， 为物体的刚性位移部分，称为转动张量 应力在刚体位移上不做功。,为一二阶对称张量 为一二阶反对称张量,则面力功的变化：,从而有,物体变形能的变化,注意到,又注意到物体运动微分方程为： 平衡状态下，有平衡微分方程：,从而有,若变形过程是绝热的，即 则有,在平衡状态下，,结论：在平衡状态下，外力所做的功等于物体中应变能的变化。 或者说，外力所做的功，全部转化为物体的应变能。,记变形能的变化,则 为单位体积应变

5、能的变化。,记U0为应变分量的函数，即：,显然有,其全微分为,U0表示由于变形而贮存在物体单位体积内的应变能，称为应变能 密度函数。,定义：应变能的变化,应变余能的变化,*,有,则对于应变能密度函数 U0，,展开式为：,类似地，对于应变余能密度函数U0* ，,展开式为：,有,4-4.广义Hooke定律,在小变形情况下，忽略应变分量的高阶值，同时利用零初应力状态假定，得到最一般形式下线弹性应力应变关系的表达式：,1、应力应变关系的一般表示:,展开式：,简记为： 或,写成矩阵形式：,简记为：,一般情况下，系数Cij不是常数，除依赖温度外，还依赖于在物体中所处的位置。通常Cij随着温度的增高而减小。

6、对于均匀的物体，各点的Cij相同。,注意到：,则有：,即C为对称矩阵，只有21个独立的弹性系数。,即：一般的各向异性弹性材料有21个弹性系数。,2、各向异性体弹性材料的应力应变关系：,根据前面的讨论，应变能密度函数U0 满足：,考察：,类似地可得到,3、各向同性体材料的广义Hooke定律 各向同性体材料的应力主轴和应变主轴重合。 证明：1以三个应变主轴方向为轴建立坐标系。 则对应于三个主轴方向的切应变为零： 于是对应于主应变状态的各应力分量为:,1( ),3( ),1,3,2,2( ),o,2建立新坐标系。不妨把坐标系1、2、3 绕 2 轴旋转180 得到 坐标系1、2 、3 。,坐标系间的方

7、向余弦关系为：,在新坐标系1、2 、3 下，对于各向同性体，弹性常数不随 方向而改变，则对应于新坐标系下的各应力分量同样有：,应变状态的坐标变换,显然有：,考察应力状态的坐标变换,同时 对 的影响和 对 的影响应该没有区别：,对于各向同性体材料，在各个方向上的弹性性质相同，显然主应变 对 的影响与主应变 对 的影响和主应变 对 的影响都是相同的，即有,即有：,同理有,于是知：应变主轴坐标系所对应的应力状态是主应力状态，即 应变主轴也是应力主轴，或者说：应变主轴和应力主轴重合。,从而有：,ii各向同性体材料只存在两个独立的弹性常数,已知在主轴坐标系下，,类似地,不妨记,则有,引入 Lame 常数

8、,体积应变,则有,引入非主轴坐标系 Oxyz，与主轴坐标系 间的方向余弦关系记为：,在 Oxyz 系下的应力和应变状态分别为,不妨考察,以及,利用主轴坐标系下的结论,有,于是得到各向同性体材料的应力应变关系即广义 Hooke定律为,简记为,根据由拉梅系数表示的广义虎克定律： 可以解出应变以应力分量表示的形式，即得到以工程弹性常数 表示的广义Hooke定律为：, 工程弹性常数：E，G， E：（拉压）弹性模量，杨氏（Youngs）模量 G：剪切弹性模量 ：泊松比（Poisson Ratio）,4、以工程弹性常数表示的各向同性体的广义 Hooke定律,工程弹性常数与拉梅系数间的关系：,其中：,由于各

9、向同性体只有两个相互独立的弹性常数，故E、G、 不互相独立，可知：,同时可得到以工程弹性常数E、 表示的拉梅系数为：, 为了导出以工程弹性常数表示的各向同性体的广义虎克定律， 考虑单向拉伸问题：,x 向:,y 向:,z 向:,类似地，,叠加：,考虑纯剪切问题：,即,和,即有：, 为了考察E、 与G之间的关系，仍以单向拉伸问题为例：,应力状态：,应变状态：,在45截面上建立xy 坐标系：,则截面上的应力分量,应变分量,利用,有,从而有, 以单向拉伸问题为例考察工程弹性常数与拉梅系数间的关系,已知：,则,利用,有,代入：,有,即有,所以有：,利用,即,代入,有,从而有,物体在均匀压力 p 作用下，

10、压力 p 与体积应变 的比值的绝对值称为体积压缩模量 K，K 恒为正。,5、体积压缩模量：,则广义虎克定律给出：,三式相加：,于是有：,由于在三向等压情况下，,综合：,这几个弹性常数，有较大的实用意义。,4-5.弹塑性力学中常用的简化力学模型,2、线性强化弹塑性力学模型,1、理想弹塑性模型：,3、幂强化力学模型：,4、刚塑性力学模型（理想塑性模型） 在应力到达屈服极限之前应变为零。,46. 屈服函数与应力空间 1、屈服界限的判据：通俗定义屈服点为弹性和塑性的分界点。,有明显屈服极限的材料： 应力超过，材料不服从虎克定律。屈服应力，由简单拉伸曲线图决定（下屈服极限）。,(1) 材料受简单拉伸（压

11、缩）：,弹塑性分界不明显的材料: 依据规定来确定，供工程设计用。通常采用0.2为屈服极限。定义0.2为卸载后有0.2%塑性变形所对应的应力。,(2) 复杂应力状态：（确定材料的屈服界限就不那么简单） 例如：薄壁圆管受内压P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半径r，壁厚为t，tr。,管壁应力可简化为一个平面应力问题。,组合应力,显然，对于不同的外力组合，所产生的应力状态不同。 如何确定屈服极限？,内压P：,拉力F：,扭矩T：,(3) 对应于不同应力状态的屈服条件： 在一定的内力组合下，所产生的应力随着内力的增加而进入塑性状态，于是就可得到这种应力状态的屈服条件。 确定这种屈服条件，也要通过实验确定。

12、 由于这种内力组合是多种多样的，实验的次数也将很多，不可能一一做到。所以要以实验为基础，从理论上寻求其规律，找出屈服条件的解析式，建立屈服条件的理论。 一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是一点的6个应力分量的函数，,(1) 屈服函数： 屈服条件是与该点的应力状态即6个应力分量有关的，反映了这6个应力分量对屈服的影响：, 表示在一个六维应力空间内的超曲面，屈服条件成立。 六维应力空间是指6个应力分量x, y,的全体所构成的抽象空间，空间中任一点代表一个确定的应力状态。 代表这一空间内的曲面，不同于普通空间内的曲面，称之为超曲面。,2、屈服函数、屈服面、屈服曲线,(2)

13、屈服面： 超曲面点上的物理意义：超曲面上任一点称为应力点，表示一个屈服应力状态。所以超曲面又称为屈服面。 例：简单拉伸时，屈服应力0，用6维空间来描述，坐标 (0,0,0,0,0,0)的点就在屈服面上。 受扭转薄壁管的纯剪切屈服应力为0 ，坐标(0,0,0,0,0,0) 的点也是屈服面上的一个点。 (以上均为屈服面上的特殊点), 用主应力空间描述屈服面： 主应力：对各向同性材料，坐标方向的变换对屈服条件没有影响，故可选取三个应力主轴为坐标轴，屈服条件 成为：,或 （应力不变量也与坐标轴的选取无关）,应力偏量：已知引起弹性体体积变化的球形应力状态（静水压力）不影响材料的屈服，因此屈服条件也可以用

14、应力偏量或应力偏量不变量J2，J3 来表示，即有,讨论：1屈服条件可化为应力偏量的函数。 2 屈服函数可在主应力构成的坐标空间（主应力空间）内来讨论。 3 主应力空间是一个三维空间，在这一空间内，屈服函数的几何图像可以直观的绘出，有利于对屈服面的认识。 4 由 因应力偏量第二不变量恒为正值，第三不变量 J3 当应力变号时J3也变号，故屈服函数f 必为J3 的偶函数。,或,(3)屈服曲线： 主应力空间特征：建立应力主轴坐标系O 1 2 3， 过原点O做直线On与坐标轴夹角相等：,由 则,注意到,故有,在On线上任一点所对应的应力状态为：,讨论：On线上任一点都对应一个球形应力状态，或静水应力状态

15、，其应力偏量的分量：, 平面：,某一点的应力状态，可设想用应力空间一点P(1,2,3)来表示，如图。OP为该点应力矢量，矢量OP可分解为沿等倾面法线On及平行于等倾面的两个矢量OQ及OS： OP=OQ+OS,若1= 2= 3= m，该点的应力状态为静水压力情况，则OP必沿On线方向，此时OQ=OP，OS=0。故一般情况下，把应力状态分界为静水压力及应力偏量状态时，分矢量OQ代表静水压力部分，而OS代表应力偏量部分，也就是确定材料是否屈服的有关部分。,这个有特殊意义的平面，称之为“平面”。矢量OS在应力轴上的投影为s1，s2，s3。,或 r：平面到原点的距离 平面过原点时r=0，即有1+2+3=0 是为“平面”。,OS所在平面即平均应力为零的平面，它平行于等倾面又通过坐标原点，可用方程表示为： 1+2+3=0 （思考？）,*法线为 的任一平面的平面方程：, 应力分量讨论： *考虑静水应力分量OQ：,*由于On线上 1=2=3=m，,应力偏量分量OS：,或,8：