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1、试讲内容：随机事件及其概率教学目的：1.了解样本空间,随机事件的概念,掌握事件的关系与运算.2. 理解随机事件概率的概念,会计算古典型概率和几何型概率,掌握条件概率公式，全概率公式以及贝叶斯公式.3.理解事件独立性的概念以及独立重复试验的概念。教学重点和难点：随机事件的概率教学过程;一 随机试验和样本空间1 随机试验的例子 E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面；E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数；E3: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；2 随机试验的特点（1）可在相同条件下重复进行； （2）每次试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; （3）一次试验之
2、前无法确定具体是哪种结果出现。3 样本空间样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 。样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为 e。 二 随机事件定义：试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 。记作 A、B、C 等。任何事件均可表示为样本空间的某个子集。三 随机事件的关系与运算律1 事件的关系（1）包含关系： A 发生必导致 B 发生，记为 AB相等关系：AB A B 且 BA.（2）事件的并：A 与 B 至少有一个发生，记作 AB（3）事件的交 :A 与 B 同时发生，记作 ABAB（4）互斥的事件：AB （5）互逆的事件：AB
3、 , 且 AB 2 事件的运算率（1）交换律：ABB A，ABBA（2）结合律：(AB) C A(BC)， (AB)CA(BC)（3）分配律：(AB)C (AC)(BC)，(AB)C(AC)(B C)（4）对偶律： 四 频率与概率1 概率：从直观上来看，事件 A 的概率是指事件 A 发生的可能性大小的度量（数值） ，记作 P（A） 。2 频率：在相同条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中事件 A 出现的次数nA 称为的 A 频数 ，比值 nA/n 称为事件 A 在 n 次重复试验中出现的频率，记为 fn(A). 即 fn(A) nA/n.3、概率与频率的关系实践证明：当试验次数 n 增
4、大时， fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作 P(A)，作为事件 A 的概率。五 古典概型与几何概型1古典概型：设样本空间 为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 、AP)(2几何概型：设 为欧氏空间中的一个有界区域，样本点的出现具有等可能性，则.,kkkkABB可 推 广、A)(P【例 1】 一个盒中有 4 个黄球, 5 个白球, 无放回取 3 个球, 试求取出的球都是白球的概率. 【例 2】 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于 10 分钟的概率。【例 3】 转盘上有 8 个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止时指针落在阴影部分的
5、概率【例 4】 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出 10 毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？六 条件概率: （P（A）0）)(|(BP七 全概率公式与 Bayes 公式试讲内容：随机变量及其分布函数教学目的：1. 理解随机变量的意义；2.了解常用的离散型随机变量和连续型随机变量3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 奎 屯王 新 敞新 疆教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程：一 、随机变量的定义引例： 电子元件寿命 =X
6、 =1000 一等品 10001000- 4000)则称 X 服从参数为 的泊松分布， 记 作 ()在生物学，医学，工业统计，保险科学及公用事业的排队问题中，泊松分布是常见的。例如，容器内的细菌数，铸件的瑕疵点，事故数，交换台的电话呼叫次数等等，大都服从泊松分布。（4） 几何分布在事件 A 在单次实验中发生的概率为 p 的独立重复试验中。若记X=A 初次发生时的实验次数则，X 具有如下概率分布（ =） =1 =1,2这个概率分布成为几何分布四 连续型随机变量及其分布函数定义：若随机 变 量 所有可能取 值 不 仅 有无 穷 多个，而且无法一一列 举 ，是充 满一个区 间 的 ,则 称 为连续
7、型随机 变 量。定义：设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数 F(x)=PX ()为 X 的分布函数。记作 XF(x).00 0 指数分布用来表示独立随机事件发生的时间间隔，例如旅客进机场的时间间隔；许多电子元件的寿命一般也服从指数分布。(3) 正态分布 若随机变量 X 具有概率密度()= 12()2220,则 称 服从参数 为 ， 的正 态 分布， 记 作(,2)特殊正态分布 N（0，1）试讲内容 随机变量的数字特征教学意义(1)在实际问题中，随机变量的概率分布完全决定了随机变量的统计特征，但是随机变量的概率分布难确定或者不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。(2)实际应用中，人们
8、更关心概率分布的数字特征。 （引例）(3)一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布教学重点和难点常见重要分布的期望和方差，切比雪夫不等式的应用教学过程随机变量的平均取值数学期望随机变量的取值偏离均值的程度方差描述两个随机变量间的某种关系的数字特征协方差和相关系数一、数学期望1.离散性随机变量的数学期望引例 两个学生参加数学竞赛，观察一下他们的胜负情况初赛 复赛 决赛 总成绩 平均成绩 3:3:4 2:3:5 2:2:6甲 90 85 53 228 76 73.7 70.0 66.8乙 88 80 57 225 75
9、73.2 70.1 67.8数学期望的概念源于加权平均定义 4.1：设离散型随机变量 X 的分布列为：Xx1 x2 x3 . xk .Pp1 p2 p3 . Pk .kkxEX 若 kpx绝对收敛(即 kkpx)，则称它为 X 的数学期望或均值(此时，也称 X 的数学期望存在)，记为 E(X),即 若 kpx 发散，则称 X 的数学期望不存在。例：设 X 服从参数为 p 的两点分布，求 EX ;EX=p 2.连续型随机变量的数学期望定义 4.2: 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x).若积分绝对收敛，(即 dxf)()，则称它为 X 的数学期dxf)(望或均值(此时，也称 X 的数学期
10、望存在)，记为 E(X),即 ，若 )(dxfExf)， 则称 X 的数学期望不存在。3.随机变量函数得数学期望定理 1:设随机变量 X 的函数为 Y =g(X)，(1) 若离散型随机变量 X 的分布律为 )(kkxXPp,k =1,2, ，绝对收敛，则 Y 的数学期望存在，且 kkpxg)()()( kkxgEY(2) 若连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x), Y =g(X)也是连续型随机绝对收敛，则 Y 的数学期望存在，且dxfg)( )( dxfgXEY定理 2:设二维随机变量(X ,Y )的函数 Z=g(x,y)(1) 若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 ,.21, )
11、,(jiyYxPpjiij且有 绝对收敛，则 Z 的数学期望存在，且ji ijjiyg, ), ,(,() ,jiijpxYXEZ(2) 若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f (x,y),Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量,并且绝对收敛，则 Z 的数学期望存在，且 dxyfyxg),(),( ),(,) EdxyfgYXZ二.数学期望的性质性质 1:若 c 为常数，则 E(c)=c。 性质 2:若 c 为常数，随机变量 X 的数学期望存在，则: E(cX)=cE(X)性质 3:若二维随机变量(X,Y)的分量 X,Y 的数学期望都存在，则 X+Y 的数学期望存在，且 E(X+Y)
12、=E(X)+E(Y) 性质 4:若随机变量 X,Y 相互独立，它们的数学期望都存在，则 XY 的数学期望存在，且 )(EYX性质 5:若随机变量只取非负值，又 E(X)存在，则 E(X)0。二 方差1、定义: 设随机变量 X 的数学期望为 E(X),若 E(X-E(X)2存在，则称它为 X 的方差(此时，也称 X 的方差存在)，记为 D(X)或 Var(X),即 D(X)=E(X-E(X)2 2、计算方差(1)若 X 是离散型随机变量，其分布律为 pi=P(X=xi),i=1,2,.,且 D(X)存在，则 )(D() 2ii iXEx(2)若 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x),且
13、D(X)存在，则 )(E-(x) 2df例：设 XB(1,p)，求 D(X);3 方差的性质性质 1:若 C 为常数，则 D(C)=0 性质 2:若 C 为常数,随机变量 X 的方差存在，则 CX 的方差存在，且D(CX)=C2D(X) 证明由自己完成性质 3:若随机变量 X,Y 相互独立，它们的方差都存在，则 XY 的方差也存在，且 D(XY)=D(X)+D(Y) 证明：P113推论:若随机变量 X1,X2,Xn相互独立，它们的方差都存在，则 X1+X2+.+Xn的方差存在，且 )()(11 nnDXD性质 4:若随机变量 X 的方差存在，对任意的常数 CE(X),则D(X)= 2)(E E
14、(X-C) 2即函数 g(C)=E(X-C)2在 C=E(X)处达到最小值 D(X)。性质 5:若 D(X)存在，则 D(X)=0 的充要条件是: P(X=E(X)=1 4契比雪夫不等式(Chebyshev)契比雪夫不等式：设随机变量 X 的方差 D(X)存在，则对任意的0，均有PX-E(X) 2)(D 或等价地 PX-E(X)1- 2)(5 协方差及相关系数1.定义设二维随机变量(X,Y),它的分量的数学期望为 E(X),E(Y)，若 E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，则称它为 X,Y 的协方差，记为 Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y) 2.计算(1)用定
15、义计算:若二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律i,j=1,2,，且 Cov(X,Y)存在,则),(jiij yYxXPpCov(X,Y)= ji ijji pYEyX, )()(若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),且 Cov(X,Y)存在，则 ),()(),( dxyfYyxYXCov(2)、公式 在计算 Cov(X,Y)时，除用定义外，有时用下述公式较方便：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 3.相关系数定义:若二维随机变量(X,Y)的分量的方差 D(X),D(Y)都存在，且 D(X)0,D(Y)0,则称 )(,YDXCov为 X,Y 的相关系数，记为 XY,即 XY= )()(,YDXCov
