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1、 课程星级:知能梳理【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义:平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意:若,则动点的轨迹为线段;若,则动点的轨迹无图形。二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程(端点为a、b,焦点为c)(1)当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;(2)当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;2、两种标准方程可用一般形式表示: 或者 mx2+ny2=1三、椭圆的性质(以为例)1、对称性:对于椭圆标准方程:是以轴、轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
2、2、范围:椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。3、顶点:椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为,。 线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4、离心率: 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作。 因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近,从而越小,因此椭圆越扁;反之,越接近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。注意:椭圆的图像中线段的几
3、何特征(如下图): 5、椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比为常数e,(0e1)的点的轨迹为椭圆()。即:到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形,也即上图中有。焦点在x轴上:(ab0)准线方程:焦点在y轴上:(ab0)准线方程:6、椭圆的内外部需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”(1)点在椭圆的内部(2)点在椭圆的外部四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程 图形性质焦点,焦距范围,对称性关于轴、轴和原点对称顶点,轴
4、长长轴长=,短轴长=离心率准线方程焦半径,五、其他结论需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”1、若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是2、若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是3、椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为4、椭圆(ab0)的焦半径公式:,( , )5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线
5、于M、N两点,则MFNF。6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFNF。7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。8、若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是9、若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是【双曲线】一、双曲线的定义1、第一定义:到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(|F1F2|)的点的轨迹(为常数)。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点:(1)距离之差的绝对值。(2)2a|F1F2|。 当|MF1|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支; 当|M
6、F1|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支; 当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;当2a|F1F2|时,动点轨迹不存在。2、第二定义:动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时,这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程(,其中|=2c)需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双
7、曲线四、双曲线与渐近线的关系五、双曲线与切线方程六、双曲线的性质七、 弦长公式1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则,若分别为A、B的纵坐标,则。2、通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点,则弦长。3、若弦AB所在直线方程设为,则。4、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共轭双曲线需要双曲线的详细资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”【抛物线】一、抛物线的概念平面内与一定点
8、F和一条定直线l (l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。二、抛物线的性质三、相关定义1、通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径;通径:|H1H2|=2P2、弦长公式:3、焦点弦:过抛物线焦点的弦,若,则(1) x0+, (2),p2(3) 弦长,,即当x1=x2时,通径最短为2p(4) 若AB的倾斜角为,则=(5)+=四、点、直线与抛物线的位置关系需要详细的抛物线的资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”【圆锥曲线与方
9、程】一、圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线称为准线,正常数e称为离心率。当0e1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e1时,轨迹为双曲线。 特别注意:当时,轨迹为圆(,当时)。二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换: 2、坐标轴的平移:3、中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详
10、细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”精讲精练【例】以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解: 抛物线的焦点为,设双曲线方程为,双曲线方程为【例】双曲线=1(bN)的两个焦点F1、F2,P为双曲线上一点,|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则b2=_。解:设F1(c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依双曲线定义,有|PF1|P
11、F2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 16+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1。【例】当取何值时,直线:与椭圆相切,相交,相离?解: 代入得化简得当即时,直线与椭圆相切;当,即时,直线与椭圆相交;当,即或时,直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个焦点为F,M是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2,且|M1M2|=,试求椭圆的方程。解:|MF|max=a+c,|MF|min=ac,则(a+c)(ac)=a2c2=b2,b2=4,设椭圆
12、方程为设过M1和M2的直线方程为y=x+m将代入得:(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),则x0= (x1+x2)=,y0=x0+m=。代入y=x,得,由于a24,m=0,由知x1+x2=0,x1x2=,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为: =1。【例】某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长。需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店
13、.铺.“龙奇迹【学习资料网】” 解:以拱顶为原点,水平线为x轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B坐标分别为(10,4)、(10,4)设抛物线方程为x2=2py,将A点坐标代入,得100=2p×(4),解得p=12。5,于是抛物线方程为x2=25y。由题意知E点坐标为(2,4),E点横坐标也为2,将2代入得y=0。16,从而|EE|=(0.16)(4)=3.84。故最长支柱长应为3.84米。【例】已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P和Q,且OPOQ,|PQ|=,求椭圆方程。解:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0)
14、,P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2又22,将m+n=2,代入得m·n=由、式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1。【例】已知圆C1的方程为,椭圆C2的方程为,C2的离心率为,如果C1与C2相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解:由设椭圆方程为设 又 两式相减,得 又即将需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”由得解得 故所有椭圆方程【例】过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程。解法一:由e=,得,从而a2=2b2,c