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1、目 录第5章 进制转换问题25.1 基础知识25.1.1 相关概念25.1.2 各种常见的进制25.1.3 进制转换35.2 例5001 特殊的四位数55.3 例5002 进制转换75.4 例5003 skew数85.5 例5004 周易105.6 例5005 奶牛计算器125.7 例5006 计算器设计145.8 例5007 回文数17第5章 进制转换问题5.1 基础知识5.1.1 相关概念1数制数制是人们利用符号进行计数的一种科学方法。数制也称为计数制，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。2进制进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上
2、的数运算时是逢X进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一。3数码数制中表示基本数值大小的不同数字符号。例如，十进制有10个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。4基数数制所使用数码的个数。例如，二进制的基数为2；十进制的基数为10。5位权位权表示数的符号在不同的位置上时所代表的值是不同的。也就是数制中某一位上的1所表示数值的大小（所处位置的价值）。例如，十进制的123，1的位权是100，2的位权是10，3的位权是1。5.1.2 各种常见的进制人们通常采用的进制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。1十进制（Decimal）十进制是人们日常生活中最熟悉的进位计
3、数制。在十进制中，数码共有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个符号。计数规则是逢十进一。2二进制（Binary）二进制是在计算机系统中采用的进位计数制。二进制数有两个特点：在二进制中，数码只有0和1两个符号。计数规则是逢二进一。为区别于其它进制数，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或在后面加上B表示。例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2，或写成10110011B。3八进制数（Octal）由于二进制数据的基数比较小，所以二进制数据的书写和阅读很不方便，为此，在小型机中引入了八进制。八进制的基数R=8=23，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码
4、正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。八进制用下标8或数据后面加O表示 例如：二进制数据 （ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 ，对应的八进制数据 (352.264)8或352.264O。4十二进制（Duodecimal）十二进制在生活中也是经常用到的，例如，长度单位一英尺等于12英寸，一先令等于12便士，就连足球比赛罚点球的英制长度也是12码。此外还有一打12个，钟表转一圈12小时等等。一般在十二进制中，10和11可用M和N表示，有时候也可用A和B表示。5十六进制（Hexadecimal）十六进制是人们在计算机指令代码和数据的书写中经常使用的数制。在十六进
5、制中，由十六个字符09以及A，B，C，D，E，F（或a，b，f）组成（它们分别表示十进制数1015）来描述。计数规则是逢十六进一，即基数R=16=24，通常在表示时用尾部标志H或下标16以示区别。例如：十六进制数4AC8可写成（4AC8）16，或写成4AC8H。6六十进位制数（Sexagesimal）古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。因为历法需要的精确度较高，时间的单位小时，角度的单位度都嫌太大。必须进一步研究他们的小数。它们的小数都具有这样的性质：使1/2，1/3，1/4，1/5，1/6等都能成为他的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如：1/2
6、等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60这种小数的进位制在表示有些数时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制中要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。因此就出现了六十进制。5.1.3 进制转换在实际运算中，我们经常用到各种不同的进制，这就需要在各种数制之间进行转换。1其他进制转换为十进制（按权求和）方法是：将其它进制按权位展开，然后各项相加，就得到相应的十进制数。 例1：N=（10110.101）B=（？）D按权展开N=1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=16+4+2+0.5+0.125 =（22.625）D
7、例2：(38A.11)16转换为十进制数(38A.11)16=3162+8161+10160+116-1+116-2=768+128+10+0.0625+0.0039=906.06642十进制转换成其它进制方法是：分两部分分别进行的，即整数部分和小数部分。 （1）整数部分：（基数除法）把我们要转换的数除以新的进制的基数，把余数作为新进制的最低位；把上一次得到的商再除以新的进制基数，把余数作为新进制的次低位；继续上一步，直到最后的商为零，这时的余数就是新进制的最高位。（2）小数部分：（基数乘法）把要转换数的小数部分乘以新进制的基数，把得到的整数部分作为新进制小数部分的最高位。把上一步得的小数部分
8、再乘以新进制的基数，把整数部分作为新进制小数部分的次高位；继续上一步，直到小数部分变成零为止。或者达到预定的精度要求或位数要求也可以。3二进制与八进制、十六进制的相互转换二进制转换为八进制、十六进制：它们之间满足23和24的关系，因此把要转换的二进制从低位到高位每3位或4位一组，高位不足时在有效位前面添“0”，然后把每组二进制数转换成八进制或十六进制即可。八进制、十六进制转换为二进制时，把上面的过程逆过来即可。也就是把一个八或十六进制位转换为3或4个二进制位。例3：N=（C1B）H=（？）B （C1B）H=1100/0001/1011=（110000011011）B4数制转换的一般化（1）R进
9、制转换成十进制 任意R进制数按权展开，相加即可得十进制数据。例如：N = 1101.0101B = 1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2+0*2-3+1*2-4 = 8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625 = 13.3125N = 5A.8H = 5*161+A*160+8*16-1 = 80+10+0.5 = 90.5 （2）十进制转换R进制十进制数转换成R进制数，须将整数部分和小数部分分别转换。整数转换除R取余法，规则： 用R去除给定的十进制数的整数部分，取其余数作为转换后的R进制数据的整数部分最低位数字；再用R去除所得的商，取其余数作为转换后的R 进制数
10、据的高一位数字；重复执行操作，直到商为0结束。小数转换乘R取整法，规则： 用R去乘给定的十进制数的小数部分，取乘积的整数部分作为转换后R 进制小数点后第一位数字；再用R去乘上一步乘积的小数部分，然后取新乘积的整数部分作为转换后R进制小数的低一位数字； 重复操作，一直到乘积为0，或已达到精度要求或位数要求为止。解决数制转换问题时，如果所给的数值不是用十进制表示的，一般用一个字符型数组来存放。数组的每个元素分别存储它的一位数字。然后按位转换求和，得到十进制表示；再把十进制表示转换成所求的数制表示。转换的结果也用一个字符型数组表示，每个元素表示转换结果的一位数字。根据数制表示中相邻位的基数关系，可以
11、把不同的数制分成两类。一类数制表示中，相邻位的基数是等比关系，例如我们熟悉的十进制表示。另一类数制表示中，相邻位的基数是不等比的。例如在时间表示中，从秒到分采用60进进制；从月到年则采用12进制。把一个数值从数制B的表示bmbm-1b m-2 . b1 转换成十进制表示dnd n-1d n-2 . d1 比较简单。假设数制B中，第i位的基数为basei(1=i=m)，直接把basei与bi 相乘，然后对全部乘积求和。从十进制表示dnd n-1d n-2 . d1 到bmbm-1b m-2 . b1 的转换需要分两种情况考虑：l数制B 中相邻数字的基数是等比关系，即：basei(1=i=m)可以
12、表示成Ci-1 ，其中C是一个常量。将dnd n-1d n-2 . d1 除以C，余数即为b1；将dnd n-1d n-2 . d1 和C 相除的结果再除以C，余数即为b2； ；直至计算出为bm 止。l数制B 中相邻数字的基数不等比。需要先判断dnd n-1d n-2 . d1 在数制B 中需要的位数m，然后从高位到低位依次计算bm、bm-1 、b m-2 、.、b1。5.2 例5001 特殊的四位数（来源： 2405/poj.org 2196）问题描述：找出并输出所有的4位数（十进制数）中具有如下属性的数：四位数字之和等于其十六进制形式各位数字之和，也等于其十二进制形式各位数字之和。例如：十
13、进制数2991，其四位数字之和2+9+9+1 = 21。由于2991 = 1*1728 + 8*144 + 9*12 + 3，其十二进制形式为1893(12), 其各位数字之和也为21。但是它的十六进制形式为BAF(16)，其各位数字之和等于11+10+15 = 36。因此你的程序要舍去2991这个数据。下一个数2992，其十进制、十二进制、十六进制形式各位数字之和均为22，因此2992符合要求，应该输出来。（只考虑4位数，2992是第一个符合要求的数）输入：本题没有输入。输出：你的程序要求输出2992及其他更大的、满足要求的四位数（要求严格按升序输出），每个数占一行（前后都没有空行），整个输
14、出以换行符结尾。输出中没有空行。输出中的前几行如输出样例所示。输入样例：本题没有输入。输出样例：29922993299429952996299729982999.解题分析：该题在求解时要用到枚举的算法思想，即枚举所有的四位数（1000-9999），判断其是否满足十六进制、十二进制和十进制形式的各位数之和相等。由于题目已经告诉你3000以内的所有满足条件的数，因此我们可以直接输出这些数，从3000开始枚举。将一个十进制数N转换到B进制，其方法是：将N除以B取余数，直到商为0为止，存储得到的余数，然后逆序输出余数即可得到B进制下的数，但由于此题只需要得到N在16、12和10进制下各位的和，所以不需
15、要对余数逆序，直接累加其余数即可。参考程序（zzg）：#include #include #include int base(int b,int n)int sum = 0;while( n != 0 )sum += n%b;n /= b ;return sum;int main()int i,a;printf(2992n2993n2994n2995n2996n2997n2998n2999n);for(i=3000; i10000; i+)a = base(12,i);if( base(10,i) = a & a = base(16,i) )printf(%dn,i);return 0;5.3 例5002 进制转换（来源
