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1、第2讲 函数与映射的概念知识梳理1函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的
2、值域和求抽象函数的定义域重难点：1关于抽象函数的定义域问题1：已知函数的定义域为，求的定义域误解因为函数的定义域为，所以，从而故的定义域是正解因为的定义域为，所以在函数中，从而，故的定义域是即本题的实质是求中的范围问题2：已知的定义域是，求函数的定义域误解因为函数的定义域是，所以得到，从而，所以函数的定义域是正解因为函数的定义域是，则，从而所以函数的定义域是即本题的实质是由求的范围即与中含义不同1 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值
3、域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故所求值域是（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为，而，所以，故（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域当时，；当时，若，则若，则，从而得所求值域是（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数例1 试判断以下各组函
4、数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），（nN*）；（4），；（5），解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析 （1）由于，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当nN*时，2n1为奇数，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定
5、义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，都可视为同一函数.新题导练 1(2009佛山) 下列函数中与函数相同的是( )A .y = ()2 ; B. y = ; C. y = ; D. y=解析 B；因为y = ，所以应选择B2(09年重庆南开中学)与函数的图象相同的函数是 （ ）A.；B.；C.； D.解析 C；根据对数恒等式得，且函数的定义域为，故应选择C
6、考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域例2.（08年湖北）函数的定义域为( )A.;B.；C. ;D. 解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数有意义，必须并且只需，故应选择 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0；负分数指数幂中，底数应大于0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注
7、意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。题型2：求抽象函数的定义域例3（2006湖北）设，则的定义域为（ ）A. ；B. ；C. ；D. 解题思路要求复合函数的定义域，应先求的定义域。解析由得，的定义域为，故解得。故的定义域为.选B.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。题型3；求函数的值域例4已知函数，若恒成立，求的值域解题思路应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域解析依题意，恒成立，则，解得，所以，从而，所以的值域是【名师指引】求函数的值域也是高考热点
8、，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。新题导练 3.（2008安徽文、理）函数的定义域为 解析 ；由解得4定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( )A；B；C；D无法确定 解析 B；函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的5(2008江西改) 若函数的定义域是，则函数的定义域是 解析 ；因为的定义域为，所以对，但故考点三：映射的概念例5 （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）A；B；C；D解题思路 密文与明文
9、之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。解析 当接收方收到密文14，9，23，28时，有，解得，解密得到的明文为C【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.新题导练 7集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立从A到B的映射个数是
10、_，从B到A的映射个数是_.解析 9 , 8；从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1339.反之从B到A，道理相同，有N22228种不同映射.8若f :y=3x+1是从集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a4，a2+3a的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.解析 a=2，k=5，A=1，2，3，5，B=4，7，10，16；f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f（3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）或（2） aN，方程组（1）无解.解方程组（
11、2），得a=2或a=5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.A=1，2，3，5，B=4，7，10，16.备选例题：（03年上海）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立。（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数的图象与的图象有公共点，证明： 解析（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意xR，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=（2）因为函数f(x)=ax（a0且a1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得ax=x,显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=axM.
