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1、1,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球， 十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二 个人取得红球的概率是多少？,EX,1.5 条件概率 与贝叶斯公式,一、 条件概率与乘法公式,2,若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？,已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A),若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,3,例3 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的 概率; （2）求第二次取到红球的概
2、率 （3）求两次均取到红球的概率,设A第一次取到红球, B第二次取到红球.,4,S=,A,B,A第一次取到红球, B第二次取到红球,5,例3 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的 概率; （2）求第二次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率,设A第一次取到红球, B第二次取到红球.,6,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,一般地，设A、B是S中的两个事件，则,概率 P(B|A)与P(AB)的
3、区别与联系,联系：事件A，B都发生了,区别：,（1）在积事件概率P(AB)指A，B同时发生的概 率。而P(B|A)指A发生的条件下B发生的概率，故 此时A、B在时间上有一定的“先后”关系或逻辑 上有“主从”关系。,（2）样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本 空间；P(AB)在原样本空间S中考虑。,（1） 可用缩减样本空间法,（2） 用定义与有关公式,例 设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。B=“两颗骰子点数相等”，A=“两颗骰子的点数之和为4”，求 。,解,以(i,j)表示第一颗骰子为i点，第二颗骰子为j点，则,S=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,
4、6),(6,1),(6,2),.,(6,6),B(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6),AB(2,2),A (2,2), (1,3), (3,1),另外，也可以直接从条件概率的含义来考虑问题。当B发生时，样本空间缩减为B= （1，1），（2，2）,（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）,条件概率也是概率, 故具有概率的性质：,乘法法则,推广,12,例：设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下而未打破的概率。,解、
5、设 Ai= 透镜第i次落下未打破 ，i=1,2,3 A= 透镜落下三次而未打破 ，,解：设 Ai= 这人第i次通过考核 ，i=1,2,3 A= 这人通过考核 ，,13,例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通 过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。,14,例 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率
6、。,B,全概率公式的引入,二、全概率公式,15,定义 事件组B1, B2 , Bn (n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：,B1,B2,Bn,A,16,定理 (全概率公式) 设B1, B2 ,Bn是S的一个划分，且P(Bi)0，(i1，n)， 则对任何事件AS有,设B1 ，B2 ，.，Bn 是样本空间S的一个划分，且(Bi )0，i1，2，.，n，则对任一随机事件A，有,全概率公式,划分B1 ，B2 ，.，Bn：第一个阶段的所有可能结果,注：若实验可以看成分两个阶段完成，第一个阶段的具体结果未知，但所有可能结果已知，现求第二个阶段某结果发生的概率用全概率公式。,例、袋子中有a只红球，b
7、只白球，先从袋中任取一球，记下颜色后放回，同时向袋中放入同颜色的球一只，然后再从袋中取出一球，求第二次取到白球的概率。,解、B1=第一次取到红球，B2=第一次取到白球 A=第二次取到白球，则B1，B2是S的一个划分，由全概率公式有,设B1，B2，, Bn是样本空间S的一个划分，且诸 P（Bi）0，A为S的任意事件，P（ A） 0 , 则有,( i =1 , 2 , , n),证明,贝叶斯公式 Bayes Theorem,注：若第二个阶段某个结果已知，现求它是由第 一个阶段的某结果引起的概率用贝叶斯公式。,特别的，n=2时，B1记为B，此时B2就是 那么，全概率公式和贝叶斯公式分别为,例、三个电
8、池生产车间甲、乙、丙，同时生产某种普通电池和高性能电池，1h的总产量为600只，各车间的产量如下表：,某1h因为出了差错没有在电池上加上车间的标签就放入了仓库。求（1）在仓库里随机地取一只电池，它是高性能电池的概率是多少？（2）随机地取一只电池，已知它是高性能电池，它来自甲、乙、丙车间的概率是多少？,解、设A=“取到的是一只高性能电池”， B1=“取到的产品由甲车间生产”， B2=“取到的产品由乙车间生产”， B3=“取到的产品由丙车间生产”，显然B1， B2， B3为样本空间的一个划分，,（1）、由全概率公式可得,（2）、根据贝叶斯公式,由于P(B2|A)P(B1|A)P(B3|A),因此，
9、这只电池来自乙车间的概率最大。,24,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%， 若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差， 则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,解：设A=甲出差，B=乙出差,例、对以往数据分析结果表明，当机器调整的良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%。每天早上机器开动时，及其调整良好的概率为95。试求已知某天早上第一件产品是合格品时，及其调整良好的可能性是多少。,解、A=产品合格，B=机器调整良好,例7 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概
10、率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,求解如下:,设 C=抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性，,求P(C|A)。,已知: P(C)=0.005, P(A|C)=0.95,现在来分析一下结果的意义,由贝叶斯公式，得,代入数据， 计算得 P(CA)= 0.1066。,如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率 P(C)=0.005 。,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)= 0.1066 。,说明这种试验对于诊断一
11、个人是否患有癌症有意义。,从0.005增加到0.1066, 将近增加约21倍。,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066。,即使检出阳性，尚可不必过早下结论有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认。,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi |A)分别称为 原因的先验概率和后验概率。,P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息(不知道事件A是否发生)的情况下, 人们对诸事件发生可能性大小的认识。,当有了新的信息(知道A发生), 人们对诸事件发生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计。,例、无线电通信中，由于随机干扰，当发出信号为“.”时，收到的信号为“.” 、“不清”和 “-”的概率分别为0.7,0.2,0.1.当发出信号为“-”时，收到的信号为“-”、 “不清”和“.”的概率分别为0.9,0.1,0.如果发报过程中“.”和 “-”出现的概率分别为0.6和0.4，当收到的信号为“不清”时，原发信号是什么？试加以推测。,
