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1、吴亚丽,1,线性系统的时间域理论,线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法。,吴亚丽,2,提纲：,第二章：线性系统的状态空间描述 第三章：线性系统的运动分析 第四章：线性系统的能控性和能观测性 第五章：系统运动的稳定性 第六章：线性反馈系统的时间域综合,吴亚丽,3,提纲：,第二章：线性系统的状态空间描述 第三章：线性系统的运动分析 第四章：线性系统的能控性和能观测性 第五章：系统运动的稳定性 第六章：线性反馈系统的时间域综合,本章提纲,状态和状态空间 线性系统的状态空间描述 系统输入输出模型导出状态空间描述 线性时不变系统的特
2、征结构 状态方程的约当规范型 状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统在坐标变换下的特性 组合系统的传递函数矩阵,吴亚丽,4,本章提纲,状态和状态空间 线性系统的状态空间描述 系统输入输出模型导出状态空间描述 线性时不变系统的特征结构 状态方程的约当规范型 状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统在坐标变换下的特性 组合系统的传递函数矩阵,吴亚丽,5,状态和状态空间,系统动态过程的数学描述,吴亚丽,6,(1).系统的外部描述,外部描述常被称作为输出输入描述,例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:,复频率域描述即传递函数描述,(2)系统的内部描述,状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要
3、由两个数学方程表征 状态方程和输出方程 .,(3)外部描述和内部描述的比较,外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.,2/4,2/50,基本概念,表示系统 时刻的状态,为,状态变量的特点：,(1)独立性：状态变量之间线性独立.,(2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实 际上存在无穷多种方案.,(3) 等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异 变换.,(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量.,(5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义.,本章提纲,状态和状态空间 线性系统的状态
4、空间描述 系统输入输出模型导出状态空间描述 线性时不变系统的特征结构 状态方程的约当规范型 状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统在坐标变换下的特性 组合系统的传递函数矩阵,吴亚丽,11,描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程）. 包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）,吴亚丽,12,线性系统的状态空间描述,以上方程可表为形如,1/7,5/50,连续系统典型例子：电路系统,2/7,6/50,连续系统典型例子：机电系统,以上方程可表为形如,连续时间线性系统的状态空间描述,动态系统的结构,连续时
5、间线性系统的状态空间描述,线性时不变系统,线性时变系统,3/7,7/50,连续时间线性系统的方块图,4/7,8/50,直观、简明、形象地描述各个变量之间的关系。,假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1% .,设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全国人口数,5/7,9/50,离散系统典型例
6、子：人口分布问题,写成矩阵形式,5/7,9/50,离散系统典型例子：人口分布问题,离散时间线性系统的状态空间描述,离散时间线性时不变系统,离散时间线性时变系统,6/7,10/50,离散系统状态空间描述的特点：,一是:状态方程形式上的差分型属性（即：状态方程为差分方程。） 二是:描述方程的线性属性。（状态方程和输出方程的右端，对状态x和输入u都 呈现为线性关系。） 三是:变量取值时间的离散属性（所有变量只能在离散时刻k取值）。,离散时间线性系统的方块图,7/7,11/50,连续变量动态系统的分类,线性系统和非线性系统,设系统的状态空间描述为,向量函数,若f,g的全部或至少一个组成元素为x、u的非
7、线性函数,该系统称为非线性系统 。,若f,g的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统,对于线性系统,非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统。,1/2,12/50,时变系统和时不变系统,若向量f,g不显含时间变量t,该系统称为时不变系统,若向量f,g显含时间变量t, 该系统称为时变系统,连续时间系统和离散时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统,确定性系统和不确定性系统,称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.,2/2,
8、13/50,本章提纲,状态和状态空间 线性系统的状态空间描述 系统输入输出模型导出状态空间描述 线性时不变系统的特征结构 状态方程的约当规范型 状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统在坐标变换下的特性 组合系统的传递函数矩阵,吴亚丽,23,由系统输入输出描述导出状态空间描述,对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述,其传递函数描述,可以导出其状态空间描述为,如何获得？,结论1,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=n,即系统为真情形,(2)mn,即系统为严真情形,结论2,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应
9、的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=0情形,此时输入输出描述为:,选取n个状态变量,其对应的状态空间描述为:,其对应的方框图描述为:,(2)m0情形,此时输入输出描述为:,a:,令,其对应的状态空间描述为:,其中,b:,改写为,令,将：,则：,结论3,给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：,其极点即分母方程的根,为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：,(1) mn，即系统为严真情形,对应的状态空间描述为,(2) m=n，即系统为真情形,令,对应的状态空间描述为：,由方块图描述导出状态空间描述,例1,设系统方块图如下，试列写其状态空间描述,解,上图等效为,
10、指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：,写成矩阵形式,例2,设单输入单输出系统的传递函数为,试列写其状态空间表达式。,解,可画出系统结构图如下,写出变量之间的关系,写成矩阵形式,也可以画出结构图为,可写出系统的动态方程为,例3,设,画出结构图,动态方程为,本章提纲,状态和状态空间 线性系统的状态空间描述 系统输入输出模型导出状态空间描述 线性时不变系统的特征结构 状态方程的约当规范型 状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统在坐标变换下的特性 组合系统的传递函数矩阵,吴亚丽,对连续时间线性时不变系统,(1) 特征多项式,均为实常数,(2) 特征方程式,(3) 凯莱-哈密尔顿（Caley-Ham
11、ilton）定理,对系统矩阵A，有且仅有 所有,为线性无关，,都可表示为它们的线性组合,特征多项式相关概念,(4) 最小多项式,的各个元多项式之间互质,定义（s）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理，即（A）=0,(5) 系统矩阵的循环性,如果系统矩阵A的特征多项式(s)和最小多项式（s）之间只存在常数类型的公因子k，即,则称系统矩阵A是循环的。,(6) 特征多项式的计算,预解矩阵, 基于迹计算的特征多项式迭代算法, 基于分解计算的特征多项式迭代算法,特征值,(1) 特征值的代数属性,系统特征值就是使特征矩阵(sIA)降秩的所有s值,(2) 特征值集,对n维线性时
12、不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。,(3) 特征值的形态,特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数,特征值相关概念与定义,(5) 特征值的代数重数,代数重数i 代表特征值集中值为i 的特征值个数,(6) 特征值的几何重数,(7) 特征值重数和类型的关系,对n 维线性时不变系统，若i A为单特征值，则其代数重数i和几何重数i之间必 有,(4) 特征值类型,系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型,吴亚丽,46,特征向量和广义特征向量,特征向量相关概念与定义,(1) 特征向量的几何特性,(2) 特征向量的不唯一性,(3) 单特征值所属特征向量的属性,对n维线性
13、时不变系统，系统矩阵A的属于特征值1、2、n的相应一组特征向量v1、v2、vn为线性无关，当且仅当特征值1、2、n为两两互异。,(4) 广义特征向量,对n维线性时不变系统，设i为nn维系统矩阵A的一个i重特征值，则,本章提纲,状态和状态空间 线性系统的状态空间描述 系统输入输出模型导出状态空间描述 线性时不变系统的特征结构 状态方程的约当规范型 状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统在坐标变换下的特性 组合系统的传递函数矩阵,吴亚丽,48,结论4,状态方程的约当规范形,特征值为两两互异的情形,对n个特征值1、2、n两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=v1、v2、vn，则
14、状态方程,可通过线性非奇异变换,而化为约当规范形,结论5,特征值包含重值的情形,对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值,基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令,可将系统状态方程化为约当规范形：,其中，Ji为相应于特征值i 的约当块：,吴亚丽,52,吴亚丽,53,吴亚丽,54,吴亚丽,55,吴亚丽,56,吴亚丽,57,本章提纲,状态和状态空间 线性系统的状态空间描述 系统输入输出模型导出状态空间描述 线性时不变系统的特征结构 状态方程的约当规范型 状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统在坐标变换下的特性 组合系统的传递函数矩阵,吴亚丽,58,由状态空间描述导出传递函数
15、矩阵,传递函数矩阵 定义,单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即,多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：,称G(s)为系统的传递函数矩阵。,其中,(1) G(s)的函数属性,传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的qp有理分式矩阵。,(2) G(s)的真性和严真性,当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的,(3) G(s)的特征多项式和最小多项式,G(s)的相关性质,(5) G(s)的循环性,若,称G(s)是循环的,(6) G(s)正则性和奇
16、异性,(4) G(s)的极点,G(s)的极点定义为方程式,的根,G(s)基于(A,B,C,D)的表达式,考虑连续时间线性时不变系统,则,设G(s)的首一化特征多项式为G(s)，A的特征多项式为(s)，若,必有,若系统能控能观测，则,表G(s)的极点集合为G，A的特征值集合，若G，则G； 若系统能控能观测，则G= 。,结论7,G(s)的实用计算关系式,令,则,本章提纲,状态和状态空间 线性系统的状态空间描述 系统输入输出模型导出状态空间描述 线性时不变系统的特征结构 状态方程的约当规范型 状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统在坐标变换下的特性 组合系统的传递函数矩阵,吴亚丽,64,线性系统在坐标变换下的特性 结论8,实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。
