第1章概率论基础.

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1、随机信号分析 Random Signal Analysis,郑植 通信学院 办公室：科B-224 Tel: 13880485366 E-mail: zz,随机信号分析,2,课程简介,课程名称：随机信号分析 课程性质：专业基础课 课 时：48学时 先修课程：概率论、信号与系统等 后续课程：通信原理、信号检测与估计 成绩考核：平时期中考试期末考试 注：平时包括作业、随堂测练,随机信号分析,3,课程简介,教材：随机信号分析第4版 李晓峰等编著 电子工业出版社,随机信号分析,4,课程简介,参考资料 随机信号分析 赵淑清等编著 哈尔滨工业大学出版社 随机过程及应用 朱庆棠编著 电子科技大学出版社,随机信

2、号分析,5,课程简介,内容安排： 概率论基础 第一章 概率论基础 随机信号的基础理论： 第二章 随机信号 第三章 平稳性与功率谱密度 第四章 各态历经性与随机实验 随机信号的应用 第五章 随机信号通过线性系统 第六章 带通随机信号,随机信号分析,6,学习方式,课堂教学 课堂讨论 师生互动 课后作业,随机信号分析,7,5个希望：,课前预习，问题； 认真听课，做好笔记； 课后复习，独立完成作业； 整理疑问，积极讨论； 总结提高，不断进步！,随机信号分析,8,第一章 概率论基础,复习、总结概率论的基本知识 补充一些新的知识点： 利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数 随机变量的条件数学期

3、望 特征函数 瑞利与莱斯分布 随机变量的基本实验方法（自学）,随机信号分析,9,第一章 概率论基础,1.1 概率公理与随机变量 1.2 多维随机变量与条件随机变量 1.3 随机变量的函数 1.4 数字特征与条件数学期望 1.5 特征函数 1.6 典型分布 1.7 随机变量的仿真与实验,随机信号分析,10,1.1 概率公理与随机变量,随机现象 在一定条件下，对某种现象进行实际观察时，所得结果不能预先完全地确定，而只能是多种可能结果中的一种，这种现象称为随机现象。 定义：随机试验（Random Experiment） 对随机现象做出的观察与科学实验。,随机信号分析,11,1.1 概率公理与随机变量

4、,定义 随机实验的样本点i 一个随机实验所有可能的“基本结果” 又称为样本点，记为i（i=1,2,） 定义 随机实验的样本空间(Sample Space) 随机试验所有的基本可能结果构成的集合称样本空间，常表示为： =随机实验的全部基本实验结果 =:为随机实验的基本实验结果,随机信号分析,12,1.1 概率公理与随机变量,定义 事件 事件（Event）是试验中“人们感兴趣的结果”构成的集合，是的子集。各种不同的事件的总体构成一个事件集合，称为事件域。 e.g. 不可能事件，空集 ，不包含任何样本点,随机信号分析,13,1.1 概率公理与随机变量,定义 概率 事件是随机的。赋予事件一个出现可能性

5、的度量值，称为概率（Probability）。 “可能性的度量值”是 “宏观”意义下（即大数量的情形下）的比例值，由相对频率（Relative frequency）来计算:,随机信号分析,14,1.1 概率公理与随机变量,概率公理： 任何事件A的概率满足： 非负性：任取事件A ， 归一性： 可加性：若事件A、B互斥，即 则,随机信号分析,15,1.1 概率公理与随机变量,事件概率的基本性质：,随机信号分析,16,1.1 概率公理与随机变量,条件事件： 条件概率（Conditional probability），,随机信号分析,17,1.1 概率公理与随机变量,事件A与B独立（Independe

6、nt）等价地定义为： 多个事件 彼此独立，,随机信号分析,18,1.1 概率公理与随机变量,事件的最基本运算： （参见教材）,随机信号分析,19,例1.1,掷硬币实验：一次投掷与相继两次投掷硬币，观察出现正面或反面结果的试验。 分析： 投掷硬币实验1为一次投掷观察硬币正、反面出现，其样本空间 其中，H表示正面出现，T表示反面出现,随机信号分析,20,例1.1,事件域： 显然，,随机信号分析,21,例1.1续,投掷硬币实验2为连续二次投掷观察硬币正、反面出现，其样本空间有四种可能结果 其中， s0 （正，正）， s1 （正，反）， s2 （反，正）和s3 （反，反）， 这里的s0 （正，正）（前

7、一次投掷出现正，后一次投掷出现正）， 显然，P0=1/4， P1=1/4，P2=1/4， P3=1/4,随机信号分析,22,例1.2,一列N个格子，将一只小球随机放入其中任一格子。求： （1）小球放入第k号格子的概率? （2）前k个格子中有小球的概率？ 解： 因为是等概的，显然， 又各个格子是互斥的，于是,随机信号分析,23,1.1 概率公理与随机变量,几个基本公式 链式法则：,随机信号分析,24,1.1 概率公理与随机变量,全概率公式 (Total Probability) 完备事件组或分割（Partition）： 事件组 ，满足： 1） 2） 全概率公式：任取事件B,随机信号分析,25,1

8、.1 概率公理与随机变量,贝叶斯（Bayes）公式：任取事件B 先验概率： 转移概率： 后验概率：,随机信号分析,26,例1.3,在二元传输或检测中，先验概率分别为 ， 若传输可靠性为80%，问收到“1”时，真 正发送的消息是什么？ 解：根据贝叶斯公式,随机信号分析,27,1.1.2 随机变量,举例1 正弦信号发生器：正弦信号发生器或各种正弦振荡电路产生的波形是如下的函数形式 其中A是振幅，是角频率，是初相。,随机信号分析,28,举例1续,s0 s1 Si 样本空间为s0,s1,s2,随机信号分析,29,举例2,投掷骰子 样本空间 1，2，6,随机信号分析,30,举例2续,通过映射关系，一个样

9、本点对应一个值，样本空间映射成随机变量X（r.v.X）。 r.v.X=1,2,3,4,5,6,随机信号分析,31,1.1.2 随机变量,定义：随机变量 在样本空间上定义一个单值实函数X()，则称为随机实验E中的随机变量，简记为r.v.X。并规定：用 的概率来描述 的概率特性，记为 称它为X的分布函数（Distribution function），或称为累积分布函数（Cumulative distribution function）。,随机信号分析,32,随机变量映射,1.1.2 随机变量,随机信号分析,33,1.1.2 随机变量,随机变量的分类 连续随机变量（C.r.v.） 离散随机变量（D.

10、r.v.） 混合随机变量,随机信号分析,34,1.1.2 随机变量,r.v.的研究只能从统计学角度进行,随机信号分析,35,举例3,例： 显然 注意：D.r.v的概率分布函数是阶跃的，阶跃的高度等于r.v.在该点的概率。,随机信号分析,36,举例3续,概率分布函数,随机信号分析,37,随机变量概率分布函数的性质,性质1：极限特性 性质2：右连续性,随机信号分析,38,随机变量概率分布函数的性质,性质3：区间概率特性 性质4：单调非减性,随机信号分析,39,1.1.2 随机变量,定义：概率密度函数（Probability density function） 随机变量X的概率密度函数 （或 ）定义

11、为： 注：若FX(x)连续，则fX(x)存在； 若FX(x)有间断点，则引入(x) ，故fX(x)总是存在。,随机信号分析,40,举例3续,例： 显然 所以,随机信号分析,41,举例3续,概率密度函数,随机信号分析,42,举例3续,对于分布律为 的离散型随机变量，其分布函数形如： 密度函数为 式中，取值位置对应 自变量的偏移量，取值概率对应前面的幅值。,随机信号分析,43,随机变量概率密度函数的性质,性质1：区间概率特性 性质2：非负性,随机信号分析,44,随机变量概率密度函数的性质,性质3：归一性 性质4：与FX(x)的关系,随机信号分析,45,1.1 概率公理与随机变量,随机变量不同于普通

12、变量表现在两点上： 变量可以有多个取值，并且永远不能预知它到底会取哪个值； 变量取值是有规律的，这种规律用概率特性来明确表述； 因此，凡是讨论随机变量就必然要联系到它的取值范围与概率特性。,随机信号分析,46,1.1 概率公理与随机变量,在描述随机变量的概率特性时： 分布函数 指明直到x处的累积概率； 密度函数 适用于连续取值部分。 离散变量X，常采用分布律；,随机信号分析,47,第一章 概率论基础,1.1 概率公理与随机变量 1.2多维随机变量与条件随机变量 1.3 随机变量的函数 1.4 数字特征与条件数学期望 1.5 特征函数 1.6 典型分布 1.7 随机变量的仿真与实验,随机信号分析

13、,48,1.2 多维随机变量与条件随机变量,定义 在某些情况下，随机实验的基本可能实验结果经过两个或两个以上的实函数映射，得到两个或两个以上的随机变量，比如 ，这些随机变量组成的向量称为n维随机变量（或向量）：,随机信号分析,49,n维随机变量（或向量）,1.2 多维随机变量与条件随机变量,随机信号分析,50,1.2 多维随机变量与条件随机变量,二维随机变量的概率分布函数 二维随机变量Z的概率分布函数是其分量随机变量X与Y 的联合概率分布函数。其定义为 ： 这里，X或Y的概率分布函数 或 称为 的边缘概率分布函数。,随机信号分析,51,二维随机变量的概率分布函数,随机信号分析,52,联合概率分

14、布函数FXY(x,y)的性质,性质1：区间概率特性 性质2：极限取值特性,随机信号分析,53,联合概率分布函数FXY(x,y)的性质,性质3：单调递增性 性质4：边缘概率分布,随机信号分析,54,二维随机变量的概率密度函数fXY(x,y),定义：二维随机变量的概率密度函数 二维随机变量Z的概率密度函数，就是其分量随机变量X和Y的联合概率密度函数或简称二维概率密度函数。 这里，X或Y的概率密度函数 或 称为 的边缘概率密度函数(marginal probability density function)。,随机信号分析,55,二维随机变量概率密度函数fXY(x,y)性质,性质1：区间概率特性 性

15、质2：非负性,随机信号分析,56,二维随机变量概率密度函数fXY(x,y)性质,性质3：归一性 性质4：边缘概率特性,随机信号分析,57,二维随机变量概率密度函数fXY(x,y)性质,D.r.v联合分布律来描述， 密度函数由多维冲激函数组成，形如 联合分布函数由多维阶跃函数组成，形如,随机信号分析,58,多维随机变量,类似的，对于多维随机变量 n维联合概率分布函数和密度函数分别为：,随机信号分析,59,1.2 多维随机变量与条件随机变量,给出观察系统工作情况的样本空间和随机向量(X1, X2)的联合样本空间SJ，并指出和SJ中事件的对应关系； 计算 (X1, X2)的概率密度函数。,随机信号分析,60,1.2 多维随机变量与条件随机变量,随机信号分析,61,1.2 多维随机变量与条件随机变量,随机信号分析,62,1.2 多维随机变量与条件随机变量,随机信号分析,63,1.2 多维随机变量与条件随机变量,x2,F(x1,x2),x1,(1,0),(0,0),(0,1),(1,1),0.0002,0. 01,0.02,1,随机信号分析,64,1.2 多维随机变量与条件随机变量,随机信号分析,65,1.2 多维随机变量与条件随机变量,随机信号分析,66,例1.8 二维正态分布,二维正态分布 的二维概率密度函数为: 求f ( x ) 与f ( y