自动控制原理课件第2章讲解

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1、第二章 线性系统的数学描述,2.1 线性系统的时域数学模型 2.2 传递函数 2.3 结构图 2.4 信号流图 2.5 线性系统的状态空间描述 2.6 线性定常系统数学模型的MATLAB实现 小结,2.1 线性系统的时域数学模型,控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示, 方程中含有输出量、 输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程或运动方程。 微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数, 又称为系统的阶数。,对于单输入、单输出线性定常系统, 采用下列微分方程来描述:,式中,r(t)和c(t)

2、分别是系统的输入信号和输出信号；c(n)(t)为c(t)对时间t的n阶导数;ai(i=1,2,n)和bj(j=0,1, ,m)是由系统的结构参数决定的系数。,(2.1),一般情况下,列写控制系统运动方程的步骤是, 首先分析系统的工作原理及其各变量之间的关系,找出系统的输入量和输出量; 其次根据系统运动特性的基本定律,一般从系统的输入端开始依次写出各元件的运动方程, 在列写元件运动方程时, 需要考虑相接元件间的相互作用;最后由组成系统各元件的运动方程中, 消去中间变量, 求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程, 并将其化为标准形式。所谓标准形式是指在系统运动方程中将输入变量及其导数置于等

3、号的右边, 将输出变量及其导数置于等号左边,等号两边的导数项均按降幂排列, 并且将系数规划为反映系统动态特性的参数, 如时间常数、 阻尼系数等。,2.1.1 电气系统 电气系统中最常见的装置是由电阻、电容、运算放大器等元件组成的电路, 又称电气网络。我们将电阻、 电感和电容等本身不含有电源的器件称为无源器件,而将运算放大器这样本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无源器件构成的电气网络称为无源网络；如果电气网络中含有有源器件或电源, 就称之为有源网络。,图 2-1 RLC无源网络,例 2-1图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络, 试列写以ui(t)为输入量,以uo(t)为输出量的网络

4、微分方程。 解 设回路电流为i(t), 由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为,消去中间变量i(t), 可得描述该无源网络输入输出关系的微分方程,(2.2),上式也可以写为,(2.3),其中,T1=L/R, T2=RC。方程(2.2)和(2.3)就是所求的微分方程。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程, 对应的系统称为二阶线性定常系统。,例 2-2 图2-2是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路,电压ui(t)和uo(t)分别表示输入量和输出量, 试确定这个电路的微分方程式。 解 理想运算放大器正、反相输入端电位相同, 且输入电流为零。根据基尔霍夫电流定律有,图 2-2 电容负反馈电路,解

5、理想运算放大器正、反相输入端电位相同,且输入电流为零。根据基尔霍夫电流定律有,整理后得,(2.4),或为,(2.5),其中,T=RC为时间常数。方程(2.4)和(2.5)就是该系统的微分方程, 这是一个一阶系统。,(2.6),或写成,(2.7),这也是一个二阶线性常微分方程。比较表达式(2.7)和(2.3)可以发现, 两个不同的物理系统具有相同形式的运动方程, 即具有相同的数学模型。,图2-3 机械阻尼器示意图,例 2-4 图2-4表示一个单摆系统,输入量为零(不加外力), 输出量为摆幅(t)。摆锤的质量为M, 摆杆长度为l, 阻尼系数为,重力加速度为g。试建立系统的运动方程。 解 对于图2-

6、4所示的单摆系统,根据牛顿运动定律可以直接推出如下系统运动方程:,(2.8),显然方程(2.8)是一个二阶的非线性微分方程(因为含有sin), 但是在摆幅较小的情况下, 单摆运动方程可以认为是线性的, 对应的微分方程为,(2.9),图2-4 单摆运动示意图,在工程实际中,大多数系统是非线性的。比如, 弹簧的刚度与其形变有关系, 因此弹簧系数k实际上是其位移的函数, 而并非常数; 电阻、电容和电感等参数值与周围的环境(温度、 湿度、压力等)及流经它们的电流有关, 也并非常值;电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。非线性系统的分析一般比线性系统复杂。但是当控制系统

7、在围绕平衡点附近的小范围内动作时,通常采用泰勒级数展开的方法,可将非线性系统线性化为平衡点附近的线性系统, 从而使问题简化。如在上述的单摆系统中, 在小幅摆动的假设下,通过将sin在平衡点=0处作一阶泰勒展开, 可将方程(2.8)中的非线性项sin用其线性近似量表示, 从而得到方程(2.9)描述的线性系统。,2.2 传 递 函 数,2.2.1 拉氏变换 1. 拉氏变换的定义 若将实变量t的函数f(t)乘上指数函数e-st(其中s=+j是一个复数), 并且在0,+上对t积分, 就可以得到一个新的函数F(s),称F(s)为f(t)的拉氏变换,并用符号Lf(t)表示。,(2.10),上式就是拉氏变换

8、的定义式。从这个定义可以看出, 拉氏变换将原来的实变量函数f(t)转化为复变量函数F(s)。 通常将F(s)称作f(t)的象函数, 将f(t)称作F(s)的原函数。,2. 拉氏变换的基本定理 1) 线性定理 两个函数和的拉氏变换, 等于每个函数拉氏变换的和, 即,(2.11),函数放大k倍的拉氏变换等于该函数拉氏变换的k倍, 即,(2.12),2) 微分定理 如果初始条件,成立, 则有,(2.13),3) 积分定理 一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s, 即,重复运用式(2.14)可以推出,(2.14),(2.15),4) 初值定理 函数f(t)在t=0时的函数值可以通

9、过f(t)的拉氏变换F(s)乘以s取s时的极限而得到, 即,(2.16),5) 终值定理 函数f(t)在t+时的函数值(即稳定值)可以通过f(t)的拉氏变换F(s)乘以s取s0 时的极限而得到, 即,(2.17),2.2.2 传递函数的定义和特点 1. 传递函数的定义 线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述:,式中,r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号;c(n)(t)为c(t)对时间t的n阶导数;ai(i=0,1,n)和bj(j=0,1,m)是由系统的结构参数决定的常系数。如果r(t)和

10、c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零, 即满足如下的零初始条件:,则根据拉氏变换的定义和性质,对式(2.18)进行拉氏变换, 并令C(s)=Lc(t), R(s)=Lr(t),可得,由传递函数的定义可得系统的传递函数为,式中,M(s)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和分母多项式。,例 2-5 试确定图2-1所示的RLC无源网络系统的传递函数。 解 由例2-1可知, RLC无源网络系统的微分方程为,在零初始条件下,对上述方程中各项求拉氏变换,并令Uo(s)=Luo(t), Ui(s)=Lui(t)，可得复频域的代数方程,(LCs2+RCs+1)Uo(s)=Ui(s),所以系统的

11、传递函数为,例 2-6 试确定如图2-2所示的运算放大器电路的传递函数。 解 由例2-2可知, 运算放大器电路系统的微分方程为,在零初始条件下, 对上述方程中各项求拉氏变换， 得,所以, 系统的传递函数为,(2.21),例 2-7 试确定如图2-3所示的机械阻尼系统的传递函数。 解 由例2-3可知, 该系统的运动方程为,在零初始条件下, 对上式进行拉氏变换， 可得,(ms2+s+k)Y(s)=F(s),所以系统的传递函数为,(2.22),2. 传递函数的特点 (1) 传递函数的概念适用于线性定常系统,传递函数的结构和各项系数(包括常数项)完全取决于系统本身结构, 因此, 它是系统的动态数学模型

12、,而与输入信号的具体形式和大小无关,也不反映系统的任何内部信息。因此可以用图2-5的方块图来表示一个具有传递函数G(s)的线性系统。该图说明,系统输入量和输出量的因果关系可以用传递函数联系起来。 但是同一个系统若选择不同的量作为输入量和输出量, 所得到的传递函数可能不同。所以谈到传递函数,必须指明输入量和输出量。传递函数的概念主要适用于单输入、单输出的情况。若系统有多个输入信号,在求传递函数时,除了指定的输入量以外,其它输入量(包括常值输入量)一概视为零;对于多输入、 多输出线性定常系统,求取不同输入和输出之间的传递函数将得到系统的传递函数矩阵。,图 2-5 传递函数的图示,(2) 传递函数是

13、在零初始条件下定义的。 控制系统的零初始条件有两层含义:一是指输入量在t0时才起作用; 二是指输入量加于系统之前, 系统处于稳定工作状态。,(3) 传递函数是复变量s的有理真分式函数, 具有复变函数的所有性质;并且理论分析和实验都指出,对于实际的物理系统和元件而言,输入量和它所引起的响应(输出量)之间的传递函数,分子多项式M(s)的阶次m总是小于分母多项式N(s)的阶次n,即mn。这个结论可以看作是客观物理世界的基本属性。 它反映了一个基本事实:一个物理系统的输出不可能立即复现输入信号,只有经过一段时间后, 输出量才能达到输入量所要求的数值。 ,对于具体的控制元件和系统,我们总是可以找到形成上

14、述事实的原因。例如对于机械系统,由于物体都有质量,物体受到外力和外力矩作用时都要产生形变,相互接触并存在相对运动的物体之间总是存在摩擦,这些都是造成机械装置传递函数分母阶次高于分子阶次的原因。电气网络中,由运算放大器组成的电压放大器, 如果考虑其中潜在的电容和电感,输出电压和输入电压间的传递函数,分子多项式的阶次一定低于分母多项式的阶次。,(4) 传递函数与线性常微分方程一一对应。传递函数分子多项式系数和分母多项式系数,分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。所以,将微分方程的算符d/dt用复数s置换便可以得到传递函数;反之,将传递函数中的复数s用算符d/dt置换便可以得到微分

15、方程。例如, 由传递函数,可得s的代数方程,(a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s),用算符d/dt置换复数s, 便得到相应的微分方程,(5) 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。 物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。例如,例2-5表示的RLC电路和例2-7表示的机械阻尼系统的传递函数在适当的参数代换后可以具有相同的形式, 但是两者属于完全不同的学科领域。另一方面,研究某一种传递函数所得到的结论, 可以适用于具有这种传递函数的各种系统, 不管它们的学科类别和工作机理如何不同。这就极大地提高了控制工作者的效率。,(6) 传递函数除具有式(2

16、.19)表示的分子、分母多项式形式外,还具有如下两种常见形式:,(2.23),(2.24),表达式(2.23)和(2.24)分别称为传递函数的零极点形式和时间常数形式。式(2.23)的特点是每个一次因子项中s的系数为1。 M(s)=0和N(s)=0的根zi(i=1,2,m)和pj(j=1,2,n)分别称为传递函数的零点和极点,k称为传递函数的增益或根轨迹增益。由于M(s)和N(s)的系数均为实数,因此零极点是实数或共轭复数。 式(2.24)的特点是各个因式的常数项均为1,i(i=1,2,m)和Tj(j=1,2,n)为系统中各环节的时间常数, K为系统的放大倍数。,(7) 令系统的传递函数分母等于零, 所得方程称为特征方程,即N(s)=0。特征方程的根称为特征根, 也就是系统的极点。,2.2.3 典型环节传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。 典型环节通常分为以下六种。 1. 比例环节 比例环节又称放大环节