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1、2007.5 63第二章 位场球谐分析的基本理论球谐分析是卫星重力和磁场数据分析解释主要工具。地球外部的重力场可以表示成球谐级数形式，同时，通过不同阶次的球谐展开，可以对地球重力场进行分析，以达到显示地球重力场特征，进而研究地球重力异常各种成因的目的。本章主要介绍论文所涉及的球谐分析的一些基本理论。2.1 位场拉普拉斯方程的解可以证明，地球外部引力场是调和的，其满足拉普拉斯方程。在不同的坐标系中，拉普拉斯方程有不同的形式，为了便于讨论，本节分别对直角坐标系和球坐标系中拉普拉斯方程的求解进行讨论。2.1.1 直角坐标系中拉普拉斯方程的解假设V表示地球引力位，其为直角坐标系中空间点(x, y, z
2、)的调和函数，则有2V=0，即 (2-1)用分离变量法解方程，令代入方程（2-1）则有式中X, Y, Z分别为X, Y, Z对x, y, z的二次导数。解方程，得V(x, y, z)的一般表达式其中为待定常数，根据边界条件来确定。2.1.2 球坐标系中拉普拉斯方程的解在球坐标系中，引力位V可表示为空间点(r, q, l )的函数，即V(r, q, l )，其中r为点的坐标径向距离，q 为余纬度，l 为经度，如图2-1所示。引力位V的拉普拉斯方程可表示成 (2-2)图2-1 球坐标系同理，可以用分离变量法解方程(2-2)，即令代入方程(2-2)，则有 (2-2a)上式中只第三项与有关，则第三项是
3、一常数。令 (2-3)其中m是整数，可解得代入方程(2-2)，则有 (2-4)从上式可以看出，左边第一项只与有关，第二项只与有关，则两项都是常数。令 (2-5)这里n为整数。解方程(2-5)，可得当r 时，V有限，可知C=0. 将(2-4)和(2-5)代入方程(2-2a)，则有 (2-6)方程(2-6)解的形式为其中为连带勒让德函数，其中m是整数，是常参数。当m, n取不同的整数值时，方程(2-3)和(2-5)的解是特解，考虑到位场的叠加性质，将所有这些特解累加起来，的一般表达式可写成 (2-7)其中和是常参数。可以证明，地球外部引力位的球谐表达式可以写成 (2-8)其中和是通常所称的球谐系数
4、。2.2 勒让德函数与连带勒让德函数2.2.1 勒让德与连带勒让德函数的一般形式及其递推公式勒让德函数球谐函数的核心组成部分。根据上一节方程(2-6)，把解代入，可得当m0时，把x = cosq 代入，可得到勒让德方程，即 （2-9）解方程(2-9)，可得勒让德函数表达式，即显然，勒让德函数的级数表达形式为 (2-10)其中为中最大的整数值。如图2-2所示，勒让德函数具有以下性质：(1) 当是偶数时是偶函数，是奇数时是奇函数;(2) 在1，+1的区域内有个零点。图2-2 (a) 函数P0(x)P6(x)在区间-1,1上的图形；(b) 函数P6(x)在球面上的图形，其中x=cosq ，灰色和白色
5、分别代表正负区域。当m 0时，把x = cosq 代入，方程(2-9)变成连带勒让德方程，即解方程可得连带勒让德函数微分表达式为连带勒让德函数级数展开形式可写成 (2-11)利用(2-10)及(2-11)式可以计算勒让德函数。然而，计算高阶勒让德多项式时不方便的，需要导出其递推公式。由 (2-12) (2-13) (2-14)由此可知，把m0代入(2-13)即可得到(2-12)，因此(2-13)是一个通式。由此可得，与勒让德多项式导数有关的四个基本递推公式为 (2-15) (2-16) (2-17) (2-18)其中表示对多项式的求导。与连带勒让德函数有关的四个基本递推公式为 (2-19) (
6、2-20) (2-21) (2-22)当时，则令。2.2.2 球函数的规格化勒让德函数与连带勒让德函数在-1，1区间都是非规格化的正交系。可以证明，勒让德函数和连带勒让德函数随着增大函数值也增大，对于连带勒让德函数来所，特别是当时，更是如此，这对实际应用是不方便的。为了避免这种现象，总是将它规格化，即使得这里是规格化后的连带勒让德函数。规格化前后有下列关系为式中为克罗内克符号，当k = 0时值为2，当k 0时值为1.假如有一个函数，它在整个单位球面上（）函数值时已知，如果展成N阶球谐函数，则有 (2-23)其中 上式即为规格化前后的球谐系数之间的互换关系。2.3 球谐变换 从前面的讨论可知，若
7、已知球谐系数，就可以确定球谐函数。但如果已知球谐系数，也可以通过积分获得球谐系数，这种互换的过程通常称为球谐变换。2.3.1 球谐系数的求取根据方程(2-23)，球函数展开成球谐级数，其中区间为0, 2p ，q 区间为0, p ，其表达式为 (2-23a)其中为规格化连带勒让德函数，为规格化球谐系数。假设为两个与有关的参数，根据求取傅立叶级数系数的原理，有 (2-24) (2-25)再利用勒让德转换，得 (2-26) (2-27)积分式(2-24), (2-25)和(2-26), (2-27)就是利用球谐函数确定球谐系数与的过程，此过程称为球谐正变换。2.3.2 球谐函数的求取用球谐系数与计算
8、球谐函数的过程，是与上述用球谐函数计算球谐系数的过程相反，被称位球谐逆变换，若将在球面作N阶球谐展开，其步骤为：(1) 求函数和 (2-28) (2-29)(2) 根据已获得的和，利用傅立叶级数展开式可求取球谐函数，即 (2-30)显然，球谐系数计算中，勒让德转换是十分重要的。实现勒让德转换方法有许多种，常见的有：标准法、直接法、快速多极法等。2.3.3 勒让德转换实现假设一个离散化的球函数，其截断阶次分别为，其余纬度必须满足. 首先求取满足的，可采用牛顿二分法计算。若是等间距的，求球谐系数第一步即采用公式(2-24)和(2-25)，第二步即采用公式(2-26)和(2-27)。离散化的求解球谐
9、系数公式(2-26)和(2-27)可写为： (2-31) (2-32)其中是加权，区间为-1，1。勒让德转换可在高斯网格上进行转换，也可以在任意网格上进行转换。首先来看高斯网格上求解过程。求解权函数的步骤如下：由 (2-33) (2-34)用矩阵表示，即 (2-35) (2-36)其中，是维加权矩阵，是维矩阵，即勒让德综合表达式为。与连续勒让德函数一样，离散化勒让德函数在高斯积分下也是正交的，即则可反推得，即有 (2-37) (2-38) (2-39)从(2-39)式中选择满足的，矩阵是一个对角矩阵，其余各项为零，即有按照勒让德相关的推导公式可以推出其它计算的表达式。下表为截断阶次N=8,m=
10、1时系数之差，其中coeff，经过公式计算出，然后通过公式计算新系数newcoeff。表21 截断阶次N=8,m=1时系数之差coeffnewcoeffCoeff- newcoeff111.554E-1522-2.665E-1533-8.882E-1544-7.105E-1555-4.441E-1566-2.665E-1577-6.217E-15等角网格上的勒让德转换满足纬度数据是截断阶数的2倍，即令：。有 (2-40) (2-41)其中权函数表2-2为截断阶次N=8,m=1时系数之差，其中coeff，经过公式计算出，然后通过公式计算新系数newcoeff。表22 截断阶次N=8,m=1时系数之差coeffnewcoeffCoeff- newcoeff11-2.068E-0822-2.558E-0833-6.67E-0844-4.25E-0855-1.271E-0
