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1、系统的频域分析及其应用,连续时间系统的频率响应 连续信号通过系统响应的频域分析 无失真系统与理想低通 抽样与抽样定理 调制与解调 离散时间系统的频域分析,连续系统的频率响应,虚指数信号ejwt(-t)通过系统的响应 任意非周期信号通过系统的响应 系统频响H(jw)的定义与物理意义 H(jw)与h(t)的关系 计算H(jw) 的方法,1虚指数信号ejwt(-t)通过连续系统的零状态响应,其中,2任意非周期信号通过连续系统的零状态响应,若信号f(t)的Fourier存在，则可由虚指数信号ejwt(-t)的线性组合表示，即,由系统的线性时不变特性，可推出信号f(t)作用于系统的零状态响应yf (t)
2、。,由积分特性,即,由均匀性,Yf (jw),3连续系统的频率响应H(jw)的定义与物理意义,系统的幅频特性,系统的相频特性,H(jw)的物理意义：,系统把频谱为F(jw) 的输入改变成频谱为H(jw) F(jw) 的响应，改变的规律完全由H(jw) 决定。,H(jw)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。,H(jw)称为系统的频率响应，定义为,或,Yf (jw)= H(jw) F(jw),4H(jw)与h(t)的关系,即H(jw)等于系统单位冲激响应h(t)的Fourier变换,由H(jw)的定义，显然有,5计算H(jw) 的方法,由系统的动态方程式直接计算； 由系统的冲激响应的傅立叶
3、变换计算； 由电路的零状态频域电路模型计算。,例1已知某LTI系统的动态方程为y“(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)，求系统的频率响应H(jw)。,解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为,由定义可求得,例2已知某LTI系统的冲激响应为h(t)=(e-t-e-2t)u(t)，求系统的频率响应H(jw)。,解：利用H(jw)与h(t)的关系,例3 图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。求系统的频率响应H(jw)和单位冲激响应h(t)。,解：RC电路的频域(相量)模型如右图，,由Fourier反变换，得系统
4、的单位冲激响应h(t)为,由电路基本原理有,RC电路系统的幅度响应,随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。,由于|H(j(1/RC)|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。,低通滤波器,连续LTI系统响应的频域分析,连续非周期信号通过系统响应的频域分析 连续周期信号通过系统响应的频域分析 正弦信号通过系统的响应 任意周期信号通过系统的响应,一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析,1.已知描述系统的微分方程,方程两边进行Fourier变换，并利用时域微分特性，有,解此代数方程即可求得零状态响应的频谱Yf (j
5、w)。,2.已知系统的频率响应,对Yf (jw)进行Fourier反变换，可得,系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系：,(1)两种分析方法实质相同，只不过是采用单元信号不同。,(2)分析域不同，卷积积分法时域，频域分析法频域。,Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。,一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析,例1已知某LTI系统的动态方程为y“(t)+3y(t)+2y(t)=3f (t)+4f(t)，系统的输入激励f(t)=e-3tu(t)，求系统的零状态响应yf (t)。,解 由于输入激励f(t)的频谱函数为,系统的频率响应由微分方程可得,故系统的零状态响应yf (t)的
6、频谱函数Yf (jw)为,二、周期信号通过系统响应的频域分析,1. 正弦信号通过系统的响应,由Euler公式可得,由虚指数信号ejwt作用在系统上响应的特点及系统的线性特性，可得零状态响应y(t)为,同理,结论：正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。,输出信号的幅度y(t)由系统的幅度函数|H(jw0)|确定，,输出信号的相位相对于输入信号偏移了,2. 任意周期信号通过系统的响应,将周期为T0的周期信号f(t) 用Fourier级数展开为,因为,故由系统的线性特性可得周期信号f(t)通过频率响应为H(jw)的系统的响应为,若f(t)、h(t)为
7、实函数，则有,例2求图示周期方波信号通过系统H(jw)=1/(a+jw)的响应y(t)。,解：对于周期方波信号，其Fourier系数为,可得系统响应y(t)为,由,系统响应频域分析小结,优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。 不足： （1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍按时域方法求解。 （2）若激励信号不存在傅立叶变换，则无法利用频域分析法。 （3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。 解决方法：采用拉普拉斯变换,无失真传输系统与理想滤波器,无失真传输系统 理想滤波器的频响特性 理想低通滤波器 冲激响
8、应 阶跃响应,无失真传输系统,若输入信号为f(t)，则无失真传输系统的输出信号y(t)应为,K为常数，td是输入信号通过系统后的延迟时间。,时域特性,频域特性,其幅度响应和相位响应分别为,无失真传输系统的幅度和相位响应,无失真传输系统应满足两个条件：,(1)系统的幅频响应|H(jw)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大；,(2)系统的相位响应f(jw)在整个频率范围内应与成正比。,例1已知一LTI系统的频率响应为,(1)求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应f(w)，并判断系统是否为无失真传输系统。 (2)当输入为f(t)=sint+sin3t (-t) 时，求系统的稳态响应。
9、,解：(1)因为,所以系统的幅度响应和相位响应分别为,系统的幅度响应|H(jw)|为常数，但相位响应f(w)不是w的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。,(2),例1的输入和输出信号波形,显然，输出信号相对于输入信号产生了失真。,输出信号的失真是由于系统的非线性相位引起的。,理想滤波器的频响特性,滤波器是指能使信号的一部分频率通过，而使另一部分频率通过很少的系统。,理想低通,理想高通,理想带通,理想带阻,理想低通滤波器,截止角频率,幅频响应|H(jw)|在通带0wc 恒为1，在通带之外为0。,相频响应f(w)在通带内与成线性关系,1 理想低通滤波器的冲激响应,理想低通滤波器冲激响应分析,(1
10、)h(t)的波形是一个取样函数，不同于输入信号d(t)的波形，有失真。,原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号d(t)的频带宽度为无穷大。,减小失真方法：增加理想低通截频wc。 h(t)的主瓣宽度为2p/wc，wc越小，失真越大。当wc 时，理想低通变为无失真传输系统， h(t)也变为冲激函数。,理想低通滤波器冲激响应分析,(2) h(t) 主峰出现时刻t=td比输入信号d(t) 作用时刻t=0延迟了一段时间td 。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。,(3)h(t)在t0的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统。,2 理想低通滤波器的阶跃响
11、应,理想低通滤波器阶跃响应分析,(1)阶跃响应g(t)比输入阶跃信号u(t)延迟td 。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。,(2)阶跃响应的建立需要一段时间。,阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为阶跃响应的上升时间tr。,tr =2p/wc，即上升时间tr与理想低通截频wc成反比。wc越大，上升时间就越短，当wc 时，tr 0。,(3)存在 Gibbs现象。即在间断点的前后出现了振荡，其振荡的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右，且不随滤波器带宽的增加而减小。,结论,(1) 输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的相位特性的斜率。 (2) 输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应在输入信号不
12、连续点处产生逐渐上升或下降的波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通频带宽度成反比。 (3) 理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带宽度越大于信号的带宽，则失真越小，反之，则失真越大。,例求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t ， - t ， 通过线性相位理想低通滤波器 的响应。,解：因为,利用Fourier变换的频移特性，可得,1) 当wc 3 时，输入信号的所有频率分量都能通过系统，即,y(t)= f(t-td) = Sa(t-td)cos2( t-td) ， - t ,2) 当wc 1时，输入信号的所有频率分量都不能通过系统，即,y(t)=0，
13、- t ,3) 当1 wc 3时，只有1wc范围内的频率分量能通过系统，故,由抽样信号频谱及Fourier变换的时域和频域位移特性可得,连续时间信号的时域抽样,信号抽样的理论分析 时域抽样定理 抽样定理的工程应用 信号重建 实际应用举例,1. 信号抽样的理论分析,若连续信号f(t)的频谱函数为F(j)，则抽样信号,其中： T 为抽样间隔，ws=2p /T为抽样角频率。,理想抽样信号的频谱分析,的频谱函数,为,且序列fk的频谱等于抽样信号的频谱，即有,抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔T关系：,混叠(aliasing),若带限信号f(t)的最高角频率为m，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一地表
14、示。而抽样间隔T需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于2fm。,若从抽样信号fs(t)中恢复原信号f(t)，需满足两个条件：,fs = 2fm 为最小取样频率，称为Nyquist Rate.,(1) f(t)是带限信号，即其频谱函数在|w|wm各处为零；,(2) 抽样间隔T需满足 ，,2. 时域取样定理,或抽样频率fs需满足 fs 2fm （或s 2 m） 。,例 题,例1：已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)，试计算 对各信号f(2t)， f(t)*f(2t)， f(t)f(2t)抽样不混 叠的最小抽样频率。,对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为,4fm(Hz)；,对f(t)
15、*f(2t)抽样时，最小抽样频率为,2fm(Hz)；,对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为,6fm(Hz)。,解：根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：,3. 抽样定理的工程应用,许多实际工程信号不满足带限条件,抗 混 低通滤波器,混叠误差与截断误差比较,思考题,根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽 样时，只需抽样速率 fs 2fm。在工程应用中，抽样速率常设为 fs (35)fm，为什么？,若连续时间信号 f (t) 的最高频率fm未知， 如何确定抽样间隔T？,抽样定理的实际应用举例,A/D,H(z),D/A,f(t),fk,yk,y(t),利用离散系统处理连续时间信号,生物医学信号处理,生物医学信号处理,生物神经细胞（元）结构图,生物医学信号处理,AdLink PCI 9112 A/D, D/A Card,Personal Computers In Window Operation Environments,AI,AO,DO,AB,CB,DB,生物信号采集系统组成框图,生物医学信号处理,生物信号采集系统接口,生物医学信号处理,采集的生物信号的模式识别,生物医学信号处理,神经元等效电路,4. 信号重建,信号重建模型,由抽样信号fs(t)恢复连续信号f (t),hr(t),信号与系统频域分
