化工设备基础第4章弯曲

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1、第四章 弯曲,主要内容:,1.弯曲的概念和实例,2.剪力和弯矩,3.剪力图和弯矩图,4.纯弯曲时梁横截面上的正应力,5.惯性矩的计算,6.弯曲正应力的强度条件,7.梁弯曲时的切应力,8.弯曲变形,9.提高梁弯曲强度和刚度的措施,第一节 弯曲的概念和实例,工 程 实 例,车间桁吊大梁,镗刀杆,工 程 实 例,车削工件,工 程 实 例,工 程 实 例,火车轮轴,工 程 实 例,力偶,力偶矩矢：,与杆件的轴线垂直。,弯曲变形的受力特点,外力的作用线与杆件的轴线垂直；,力偶矩矢：,与杆件的轴线垂直。,以弯曲变形为主的杆件。,弯曲变形的变形特点,轴线由直线变为曲线；,梁：,对称弯曲,条件：,所有的载荷作

2、用在纵向对称面内；,结果：,梁的轴线,是纵向对称面内的一条平面曲线。,对称弯曲的条件,具有纵向对称面；,外力都作用在纵向对称面内；,梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。,常见构件的纵向对称面,形心主惯性轴,集中载荷,分布载荷,集中力偶,受弯杆的简化,1、梁本身的简化,以轴线代替；,2、载荷的简化,集中载荷与均布载荷实例,分布载荷实例,线形分布载荷；,力偶实例,力偶矩矢：,与杆件的轴线垂直。,固定铰支座,3、支座简化,活动铰支座,支座简化,固定端,支座简化,简支梁：一端为活动铰 链支座，另一端为固定 铰链支座。,外伸梁：一端或两端伸出支座之外的简支梁。,悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁。

3、,4、梁的基本形式,简支梁,悬臂梁,梁的基本形式,镗缸轴，弯曲（悬臂梁）加扭转,塔设备受风载荷，地基固定， 简化为悬臂梁,钢轨约束,外伸梁,梁的基本形式,卧式容器，内部充满介质和零部件，简化为外伸梁,梁的其他横截面形式,简支梁,外伸梁,悬臂梁,静定梁的基本形式,有内力，约束反力，静力学平衡方程解决,第二节 剪力和弯矩,一、弯曲变形时横截面的内力,与横截面相切的分布内力系的合力；,与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。,FS,剪力：,M,弯矩：,/A,（由外力引起）,（外力和外力偶都能引起）,二、内力的大小,1、剪力大小=,截面一侧所有外力的代数和。,内力的大小,2、弯矩大小=,截面一侧所有外力对

4、,求内力的截面形心之矩的代数和。,剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；,左上,三、内力的符号,1、剪力的符号约定,实用的方向约定,右下,的外力产生正剪力；,使梁呈下凸时弯矩为正；,2、弯矩的符号约定,左顺,弯矩符号的实用约定,所有向上的外力,产生正弯矩；,右逆的,外力偶产生正弯矩；,例1 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。,FB,解： 1、求支反力,2、计算1-1截面的内力,3、计算2-2截面的内力,目录,1. 确定支反力,2. 用截面法求内力,第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,一、内力方程：,任意截面处的内力表示为截面位置的函数；,梁截面上的剪力

5、和弯矩随截面位置的不同而变化。 利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁危险截面的位置 是梁的强度和刚度计算中的重要环节,F,C,写内力方程，并画内力图,例2、简支梁受集中载荷作用,(1)确定约束力,FAyFb/l,FByFa/l,AC段,CB段,(2)写内力方程,外力规律发生变化的截面,控制截面：,集中力作用点、,外力偶作用面、,分布载荷的起点、,终点等。,AC,CB,(3). 作内力图,危险截面位置,集中力作用点的左或右侧截面,a 建立坐标系,b 确定控制截面,c 作图,仔细观察内力图的特点,写内力方程时注意事项,3、x截面处必须是任意截面；,4、x截面处必须是远离外力的

6、作用点；,5、写出x截面处的内力就是内力方程，,同时确定定义域。,1、必须分段列写梁的剪力方程和弯矩方程；,2、各段的分界点为各段梁的控制截面。,写内力方程，并作内力图,例3、悬臂梁上作用均布载荷,二、内力图,危险截面位置,固定端截面处；,1885年，俄国人别斯帕罗夫开始使用弯矩图；,被认为是历史上第一个使用弯矩图的人,a 建立坐标系,b 确定控制截面,c 作图,仔细观察内力图的特点,例4、简支梁受均布载荷作用,写内力方程，并作内力图。,(1)确定约束反力,FAy ql/2,FBy ql/2,(2)写内力方程,(3)、作内力图,危险截面位置,跨度中点。,a 建立坐标系,b 确定控制截面,c 作

7、图,仔细观察内力图的特点,例4、简支梁受集中力偶作用,(1)确定约束反力,FAyM / l,(2)写出内力方程,FBy M / l,写内力方程，作内力图,(3). 画内力图,a 建立坐标系,b 确定控制截面,c 作图,仔细观察内力图的特点,例5：悬臂梁受力如图所示。写梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图,1、列出梁的剪力方程和弯矩方程,AB段:,BC段:,a 建立坐标系,b 确定控制截面,c 作图,仔细观察内力图的特点,总结1,1、简支梁的两端,悬臂梁的自由端：,剪力的大小,=集中力的大小；,剪力的方向：,左上右下为正,如果没有外力偶矩时，,弯矩恒等于零；,弯矩大小,有外力偶矩时，

8、,弯矩外力偶矩的大小,弯矩方向：,满足左顺右逆。,总结2,2、梁上没有均布载荷时：,剪力的图,水平；,斜直线；,且剪力大于零时，,弯矩图,弯矩图上升；,剪力小于零时，,弯矩图下降；,总结3,3、有均布载荷的一段梁内,剪力图,斜直线；,曲线，,弯矩图,且均布载荷向上,剪力图上升；,均布载荷向下,剪力图下降；,且均布载荷向上,弯矩图下凸；,弯矩图上凸；,均布载荷向下,下雨天撑伞,总结4,4、集中力的作用点处,剪力图,突变；,突变量,=集中力的大小；,突变的方向,顺集中力的方向,弯矩图,发生转折。,总结5、6,5、剪力连续变化,过零点：,弯矩取得极值；,6、集中力偶处,剪力图,不变；,弯矩图,突变；

9、,突变量,=外力偶矩的大小；,突变的方向,从左向右画，顺时针的外力偶引起弯矩图的上突；,总结7,7、剪力=0的一段梁内，,弯矩保持为常量；,载荷集度、剪力和弯矩间的关系,载荷集度、剪力和弯矩关系：,载荷集度、剪力和弯矩关系：,1、q(x)0:,2、q常数，,3、 剪力Fs=0处，,M(x) 为 x 的一次函数，,Fs=常数， 剪力图为直线；,弯矩图为斜直线。,Fs(x) 为 x 的一次函数，,M(x) 为 x 的二次函数，,分布载荷向上（q 0），,分布载荷向下（q 0），,剪力图为斜直线；,弯矩图为抛物线。,抛物线呈凹弧；,抛物线呈凸弧;,下凸。,上凸。,弯矩取极值。,左右两侧剪力变号,4、

10、梁上作用集中力时,集中力作用处，,剪力图突变，,突变量等于集中力的大小。,弯矩图发生转折。,5、梁上作用集中力偶时,集中力偶作用处，,剪力图不变,突变量等于集中力偶的大小。,弯矩图发生突变，,内力Fs 、M 的变化规律,载荷,水平直线,or,or,上斜直线,上凸 抛物线,下凸 抛物线,下斜直线,(剪力图 无突变),F处有尖角,斜直线,6、,积分得,在 和 的两个截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积,在 和 的两个截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积,校核已作出的内力图是否正确；,微分关系的利用,快速绘制梁的内力图；不必再建立内力方程；,1计算约束反力,2确定控制面,A、B两个截面、

11、约束力FBy右侧的截面、以及集中力qa左侧的截面。,例：利用微分关系快速作梁的内力图,3建立坐标系,4确定控制面,5画图,确定剪力等于零的截面位置。,例3：利用微分关系快速作梁的内力图,A,B,F=qa,C,a,2a,(1)求约束反力,E,(2)建立坐标系,(3)确定控制截面,(4)利用微分关系作图,例4：利用微分关系作梁的内力图。,1、求支座反力,A,B,1m,1m,4m,F=3KN,C,D,(2)建立坐标系,(3)确定控制截面,(4)利用微分关系作图,回顾与比较,内力,应力公式及分布规律,均匀分布,线形分布,第四节 纯弯曲时梁横截面上的正应力,一、纯弯曲,梁段CD上，只有弯矩，没有剪力,梁

12、段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力,纯弯曲,纯弯曲,横力弯曲,纯弯曲实例,纯弯曲,1、变形几何关系,2、物理关系,3、静力学关系,纯弯曲的内力,剪力Fs=0,横截面上没有切应力,只有正应力。,弯曲正应力的 分布规律和计算公式,1、变形几何关系,（一）实验观察现象：,施加一对正弯矩，观察变形,观察到纵向线与横向线有何变化？,纵向线,由直线,曲线,横向线,由直线,直线,相对旋转一个角度后，,仍然与纵向弧线垂直。,变化的是：,1、纵向线的长度,2、两横截面的夹角,各纵向线的长度还相等吗？,各横向线之间依然平行吗？,横截面绕某一轴线发生了偏转。,（二）提出假设：,1、平面假设：,变形前为平面的横截面变

13、形后仍保持为平面；,于1695年提出梁弯曲的平面假设,瑞士科学家Jacob.贝努力,纵向纤维之间没有相互挤压，,2、假设：,观察纵向纤维之间有无相互作用力,各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。,凹入一侧纤维,凸出一侧纤维,观察纵向纤维的变化,在正弯矩的作用下，,偏上的纤维,缩短，,偏下的纤维,伸长。,缩短；,伸长。,纤维长度不变,中性层,中性层,L0,L0,L=0,既不伸长也不缩短,中性轴,中性轴上各点,=0,各横截面绕,中性轴发生偏转。,中性轴的位置,过截面形心,（三）理论分析：,y的物理意义,纵向纤维到中性层的距离；,点到中性轴的距离。,两直线间的距离,公式推导,线应变的变化规律,与

14、纤维到中性层的距离成正比。,从横截面上看：,点离开中性轴越远，,该点的线应变越大。,2、物理关系,虎克定律,弯曲正应力的分布规律,a、与点到中性轴的距离成正比；,c、正弯矩作用下，,上压下拉；,当P时,沿截面高度,线性分布；,b、沿截面宽度,均匀分布；,d、危险点的位置，,离开中性轴最远处.,还需确定中性轴Z的位置及中性层的曲率半径。,3、静力学关系,从纯弯曲的梁截开一个横截面，如图所示。,由于梁弯曲时横截面上没有轴向内力，所以这些内力元素的合力在x方向的分量为零。,因为,说明y有正负？,内力元素对z轴之矩的总和组成了横截面上的弯矩：,结论：中性轴必通过横截面的形心，这样就确定了中性轴的位置。

15、,横截面合力为0,4、弯曲正应力计算公式,变形几何关系,物理关系,静力学关系,正应力公式,弯曲正应力分布规律,弯曲正应力计算公式,5、横截面上最大弯曲正应力,截面的抗弯截面系数；。,反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响,最大弯曲正应力计算公式,适用条件,对称弯曲,比例极限内,第五节 惯性矩的计算,dy,y,y,一、横力弯曲,横力弯曲时的正应力,横截面上内力,剪力+弯矩,横截面上的应力,既有正应力，,又有切应力,横力弯曲时的横截面,横截面,不再保持为平面,且由于切应力的存在，,也不能保证纵向纤维之间没有正应力,纯弯曲正应力公式,弹性力学精确分析表明：,横力弯曲最大正应力,二 横力弯曲正应力,对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h 5的细长梁，,用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，,误差2%,满足工程中所需要的精度。,弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力公式,1、纯弯曲或细长梁的横力弯曲;,2、弹性变形阶段;,（对称弯曲）,推导弯曲正应力计算公式的方法总结,（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）,（2）“实验观察假设” ：梁弯曲假设,（3）,外力,内力,变形几何关系 物理关系 静力学关系,（4）三关系