概率统计(2)

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1、第二章 一维随机变量及其分布,第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量 第三节 随机变量的分布函数 第四节 连续型随机变量及其概率密度 第五节 随机变量的函数的分布,第一节 随机变量,定义 设X X (w )是定义在样本空间W上的实值函数，称X X (w )为随机变量.,随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，.等表示,下图给出样本点w与实数X X (w )对应的示意图,这个定义表明，随机变量 X是样本点 的一个函数，这个函数可以是不同样本点对应不同的实数，也允许多个样本点对应同一个实数.这个函数的自变量（样本点）可以是数，也可以不是数，但因变量一定是实数.,掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变

2、量.,每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数U；顾客排队等候付款的时间V. Y，U，V是三个不同的随机变量.,电视机的寿命T是一个随机变量.,例如,对于样本点本身不是数的随机试验，这时可根据需要设计随机变量。,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母,等表示,例如，从某一学校随机选一生， 测量他的身高.,我们可以把学生可能的身高看作随机变量X,现在我们可以提出关于X的各种问题.,如 “X1.7”表示学生的身高超过1.7米事件；,P(1.5X1.7)=?,P(X1.5)表示计算学生的身高不超过1.5米的概率；,例3 一射手对目标进行射击，击中目标记为1分，未中目标记为0分.设X表示该射

3、手在一次射击中的得分，它是一个随机变量，可以表示为,例4 观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接到的呼叫次数如果用X表示呼叫次数， 那么 表示一随机事件， 显然 也表示一随机事件,随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率.(与一般变量本质差异）,按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此，本章主要研究离散型及连续型随机变量.,定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量.,X 取各个可能值的概率，即

4、事件 的概率为,（1）,称（1）式为离散型随机变量X的分布律 .,一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为,第二节 离散型随机变量,分布律也可以直观地用下面的表格来表示：,由概率的定义，式（1）中的 应满足以下条件：,离散型随机变量X的概率分布表示形式,（1）列表法：,（2）通项公式法,例1 某系统有两台机器相互独立地运转设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律,解,故所求概率分布为：,（一）（01）分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是,则称 X 服从（01）分布或两点分布,（01）分布的分布律也可写成,T

5、,H,对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在W上定义一个服从（01）分布的随机变量,来描述这个随机试验的结果。,检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述,伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模型，有着广泛的实际应用,设试验 只有两个可能结果： 及 , 则称 为伯努利（Bernoulli）试验设 ，此时 ,将E 独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.,（二） 伯努利试验与二项分布,现在求它的分布

6、律 ,由试验的独立性，得,这种项共有 个，而且两两互不相容,同理可得上式右边各项所对应的概率均为,即,利用概率的加法定理知,当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 X服从01分布,显然,注意到 刚好是二项式 的展开式中,例2 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查20件，问恰好有k (k=0,1,2,20)件次品的概率是多少？,解 这是不放回抽样但由于这批产品的总数很大，且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理这样做会有一些误差，但误差不大.我们将检查一件产品是否为次品看成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利

7、试验以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X是一个随机变量，且Xb(20,0.2) 则所求的概率为,将计算结果列表如下：,作出上表的图形，如下图所示,当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值.称k为二项分布的最可能值。,其中x表示不超过x的最大整数部分。,例 某人投篮命中率为0.8，若他连续投篮4次， 问最可能命中多少次.,例3 设某种鸭在正常情况下感染某种传染病的概率为20%.现新发明两种疫苗，疫苗A注射到9只健康鸭后无一只感染传染病，疫苗B注射到25只鸭后仅有一只感染，试问应如何评价这两种疫苗，能否初步估计哪种疫苗较为有效？,解

8、 若疫苗A完全无效，则注射后鸭受感染的概率仍为0.2，故9只鸭中无一只感染的概率为,同理，若疫苗B完全无效，则25只鸭中至多有一只感染的概率为,因为概率0.0274较小，并且比概率0.1342小得多，,（三）泊松分布,1.泊松分布,或XP( ).,注 1）,2）泊松分布可以用来描述一些在大量试 验中偶然出现的事件的概率分布模型。,都服从泊松分布.,某电话交换台收到的电话呼叫数；,到某机场降落的飞机数;,一个售货员接待的顾客数;,一台纺纱机的断头数;,一放射性源放射出的 粒子数；,例如,例4 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l= 10的泊松分布为了以95%以上的概率保证该商

9、品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？,解,由附录的泊松分布表知,只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销,证明略,2.二项分布的泊松近似,解,注意 此种情况下，不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名维修工负责90台设备相当于每个维修工负责30台设备，工作效率是（1）中的1.5倍.,注意 此种情况下所求概率与(2)中基本上一样，而10名维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备，工作效率是(2)的1.67倍，是(1)中的2.5倍.,由此可知 若干维修工共同负责大量设备的维修，将提高工作的效率.,泊松分布的最可能值:,超几何分

10、布,(2)组合的性质,（3）,取值另论；,在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数x左边的概率,第三节 随机变量的分布函数,定义,分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴,1.若将 X 看作数轴上随机点的坐标，那,的概率；,么分布函数 F (x) 的值就表示 X落在区间,注,3.在 中，,X取值不大于 x 的概率；,分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用数学分 析的工具来研究 随机变量.,分布函数具有以下基本性质：,1.,2.,3.,4.,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个R.V X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某R.V的分布函数的充分必

11、要条件.,例1,由概率的有限可加性 分布函数为：,解,一般地随机变量X概率分布为,则它的分布函数为：,例2 在区间1,5上任意掷一个质点,用X表示这个质点与原点的距离,则X是一个随机变量.如果这个质点落在1,5上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比，求X的分布函数.,解,第四节 连续型随机变量及其概率密度,定义,连续型随机变量取任一指定值的概率为0.,即：,a为任一指定值,这说明：对于连续型随机变量X，有,但对于离散型随机变量X，在各种区间（如开 区间或闭区间）上取值的概率一般地是不相同的.,注: 由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,并非必然事件,称A为几乎不可能事件，

12、B为几乎必然事件.,由P(B)=1, 不能推出 B=,由于连续型随机变量唯一被它的密度函数所 确定. 所以，若已知密度函数，该连续型随机 变量的概率规律就得到了全面描述.,F (x),例1 设连续型随机变量X具有概率密度,均匀分布,公交线路上两辆公共汽车前 后通过某汽车停车站的时间，即 乘客的候车时间等.,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；,例 某公共汽车站每15分钟来一班车,一位乘客在任一时刻到达车站，记X 是他所需要等车的时间。分析X 的分布情况,例2,指数分布,指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示,指数分布常用于可靠性统计研究中，

13、如元 件的寿命.,例3,解：,各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 ，从而至少有一个已损坏的概率为 ,指数分布的性质,如果将X看成寿命，在已知寿命长于t 年 的条件下，再活s年的概率与年龄t 无关. 因此 有时又将指数分布风趣地称为“永远年轻”.,例 一种电子元件的使用寿命X（单位：小时）,求（1）该元件使用的寿命在2000小时没有 损坏的概率； （2）该元件使用的寿命在2000到3000小 时之间的概率； （3）如果该元件使用了1000小时没有坏， 问它可以继续再使用2000小时的概率。,服从参数为,的指数分布，,正态分布,正态分布是应用最广

14、泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,高斯,正态分布,正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.特点：两头小，中间大，左右对称.,注,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,注 的图形特点：,若 XN(0,1),例 若 XN(0,1），查标准正态分布表求：,第五节 随机变量的函数的分布,在实际问题中，不仅需要研究随机变量，往往还要研究随机变量的函数.即已知随机变量X的概率分布，求其函数Y = g (X )

15、的概率分布.,一般地，若X是离散型 随机变量，其概率函数为,如果 中有一些是相同的，把它们作适 当并项即可.,解：Y的所有可能取值有（-1，0，1）,所以Y的概率分布为：,由此可见，求连续型随机变量X函数的密度,数建立了一定的关系，然后利用分布函数与密,函数的方法是：首先将Y的分布函数在y处的函,转化为X的分布函数在,处的函数,数值,值,，这样将Y的分布函数与X的分布函,称为“分布函数法”。,度函数的关系，求出Y 的密度函数。这种方法,建立随机变量X的分布函数 与随机变 量Y的分布函数 的关系式；,将已知随机变量X的密度函数代入上面的 关系式., 利用上述的关系式求随机变量Y 的密度函数 ，得到随机变量X的密度函数 与随机变量Y的密度函数 的关系式；,