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1、第一节 大数定律,一、问题的引入,二、基本定理,三、典型例题,四、小结,一、问题的引入,第一章曾经讲过,事件A发生的频率 f n(A) ,随着n的增大,呈现出一种稳定性. 当n趋于无穷时,会趋于事件A的概率P(A). 但这种趋近,并非高等数学中极限意义上的趋近,而是概率意义上的趋近.,二、 基本定理（两个大数定律）,. (弱大数定理)辛钦大数定律 若Xk,k=1.2,.为独立同分布的随机变量序列, E(Xk)=, k=1, 2, .作前n个变量的算术平均,则对于任意 0,有,上式表明, 对于任意 0,当n 时, 事件,发生的概率会趋于1。 通俗地说，辛钦大数定律是说，对于独立同分布 且具有均值
2、的随机变量X1, X2,Xn,当n很大时， 它们的算术平均接近于的概率很大。,设n为随机变量序列，a为一个常数，若任给0, 有,则称Yn依概率收敛于a. 可记为,概念：依概率收敛,依概率收敛具有以下的性质.,而函数g(x,y)在点(a,b)连续.则,a,而,意思是:,当,内的概率越来越大.,(弱大数定理)辛钦大数定律 若Xk,k=1.2,.为独立同分布的随机变量序列, E(Xk)=, k=1, 2, .则序列,依概率收敛于. 即:,2.伯努里大数定律 设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数,每次试验中A发生的概率为p，则对于任意正数0, 有,证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A
3、不发生,则,伯努利大数定理的结果表明,对于任意0,只要重复独立试验的次数n充分大,事件,是小概率事件.这就是频率的稳定性.,根据实际推断原理,在现实中这样的小概率事件 几乎不发生.所以在实际应用中,当试验次数很 大时,我们便可以用事件的频率来代替事件的 概率.,一、问题的引入,实例:,考察射击命中点与靶心距离的偏差.,这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总和产生
4、的影响不大.,问题:,某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.,二、基本定理,定理四（独立同分布的中心极限定理）,定理四表明:,李雅普诺夫,定理五(李雅普诺夫定理),则随机变量之和的标准化变量,定理五表明:,(如实例中射击偏差服从正态分布),下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.,证明,根据第四章第二节例题可知,德莫佛,拉普拉斯,定理六(德莫佛拉普拉斯定理),根据定理四得,定理六表明:,正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.,下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.,三、典型例题,解,由定理四, 随机变量 Z
5、 近似服从正态分布 N (0,1) ,例1,其中,一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 50030 500次纵摇角大于 3 的概率是多少？,解,将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为 X,则 X 是一个随机变量,例2,所求概率为,分布律为,直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理,某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一
6、年内的这项保险中亏本的概率.,解,设 X 为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛拉普拉斯定理知,例3,保险公司亏本的概率,对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.,解,例4,根据独立同分布的中心极限定理，,由德莫佛拉普拉斯定理知,证,例5,根据独立同分布的中心极限定理，,四、小结,三个中心极限定理,独立
7、同分布的中心极限定理,李雅普诺夫定理,德莫佛拉普拉斯定理,中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布.,李雅普诺夫资料,Aleksandr Mikhailovich Lyapunov,Born: 6 Jun. 1857 in Yaroslavl, Russia Died: 3 Nov. 1918 in Odessa, Russia,德莫佛资料,Abraham de Moivre,Born: 26 May. 1667 in Vitry (near Paris), France Died: 27 Nov. 1754 in London, England,拉普拉斯资料,Pierre-Simon Laplace,Born: 23 Mar. 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 Mar. 1827 in Paris, France,
