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1、1,第九章,线性离散控制系统,自动控制原理,2,本章主要内容,离散控制系统的基本概念 信号的采样与保持 采样过程与采样定理，零阶保持器 离散系统的数学描述 z变换，差分方程，脉冲传递函数（开环、闭环） 离散系统的z域分析法 稳定性，极点分布与暂态性能，稳态误差， 根轨迹法（自学） 离散系统的频域分析法（自学） 离散系统的状态空间分析法（自学） 离散系统的综合（自学）,3,典型的离散控制系统如图：,9.1 离散控制系统的基本概念,4,最常见的离散控制系统：计算机控制系统,A/D：模拟信号数字信号，图中还包括 连续信号离散信号的采样过程,D/A：数字信号模拟信号，图中还包括 离散信号连续信号的保持
2、过程,5,计算机控制系统的主要特点,修改控制器结构及参数很方便（改变控制程序）； 便于实现各种先进控制，能完成复杂的控制任务； 控制精度高，抗干扰能力强，能有效抑制噪声； 有显示、报警等多种功能。 有利于实现“智能化”、“网络化”、“管控一体化”、多级分布式控制等；,分析离散系统的常用方法：Z域法，状态空间法。,6,9.2 信号的采样与保持,T：采样周期，一般是等周期采样，也可变周期或随机采样。 （ T ，近似认为0 ）,信号恢复一般采用零阶保持，也可采用一阶或其他保持方式。,7,采样信号可看作是 经脉冲序列 调制后的结果：,一、采样过程,是否产生误差？,8,单位幅值脉冲与理想脉冲的区别,9,
3、采样信号的拉氏变换,理想单位脉冲序列,采样信号为,二、采样信号的数学表达式,Z变换是离散信号拉氏变换的有理式表达形式,10,仿真实验：采样周期与采样效果,零阶保持器取采样周期为 T= 0.1，0.4，0.8,11,仿真结果,连续信号,T=0.1,T=0.4,T=0.8,12,采样周期的选取：信号变化越快，采样周期应越小， 反之则可以适当大一些。,选取采样周期的理论依据是采样定理。,三、香农（Shannon）采样定理（基于频谱分析）,则经采样得到的离散信号 可以无失真地恢复为原连续信号的条件是,13,采样定理的依据：信号的频谱分析,14,说明：采样定理只提供了选择采样周期的理论依据，对于实际的反
4、馈控制系统，连续反馈信号的上限频率（带宽）通常难以准确地确定，因此选择采样周期一般依靠估计。,15,零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将当前采样时刻的值，保持到下一个采样时刻，即,四、零阶保持器,16,零阶保持器的单位脉冲响应可表示为二个单位阶跃信号的叠加。,单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持器的传递函数。,零阶保持器的传递函数：,注意：这里的输入为1(t)，是单位幅值脉冲经理想脉冲调制后的信号，即单位理想脉冲，其拉氏变换为1。,17,零阶保持器实际的传递函数为,说明：零阶保持器实际的传递函数,式中的与U*(s)的抵消后等价于理想脉冲通过没有的零阶保持器，所以在分析中可以不考虑。,18
5、,9.3 离散系统的数学描述,一、 Z变换与Z反变换,19,关于Z变换的几点说明：,Z变换只表达了连续函数在采样时刻的特性，不包含采样时刻之间的信息。 对f(t) 采样后的 f (t) 是唯一的，但 f (t) 所对应的 f(t) 不唯一； f (t) 与 F(z) 之间的变换是唯一的。,Z变换的无穷级数表达式与信号在采样时刻的取值一一对应。,20,S平面与Z平面的对应关系：,根据Z变换定义，有,因此，根据 F(z) 极点的分布，可以判断其对应的时间函数 f (t) 收敛与否、收敛的快速性与平稳性等。,21,例1：求 f(t) = 1(t) 的 Z 变换,. 级数求和法,Z变换的求法,例2：求
6、 f(t) = e-t ，t0 的 Z 变换,极点幅值=1 信号不发散也不收敛,0时,极点幅值1 信号发散,|a|1时,信号发散；|a|1时,信号收敛；|a|=1时,信号恒值或等幅振荡（不发散也不收敛）,22,例3：求 f(t) = sin(t) 的 Z 变换,相异极点的幅值=1 信号不发散也不收敛,23,例4：求 f(t) = e-t sin(t)的 Z 变换,0时,极点幅值1 信号发散 =0时,相异极点的幅值=1 等幅振荡,24,a1时,极点幅值1 信号发散 a=1时,互异极点幅值=1 等幅振荡,25,2. 部分分式法,例5：已知连续函数的拉氏变换为,解：,求Z变换,注意极点的对应关系,2
7、6,解：,27,变换的基本性质,. 线性定理,2. 延迟定理,式中k、T均为常量.,证：,28,注：连续系统的迟后环节 e-kTs 在离散系统中只是 z-k，属于有理式，便于分析。因此，对于有迟后环节的系统，按离散时间系统进行分析和设计通常较连续时间系统更方便。,29,3. 超前定理,第一个表达式对应蓝色实线的Z变换；zkF(z)对应全部蓝色线的Z变换，所以只有当虚线部分=0时才有第二个表达式,30,4. 终值定理,设 f(t) 的Z变换为F(z)，且F(z) 在z平面不含有单位圆上及圆外的的极点（除 z外），则 f(t) 的终值为,F(z)允许的极点分布区域,注：终值定理主要用于F(z)有极
8、点1这种情况，其他情况直接就可判断。,31,不求也可判断!,32,4. 初值定理,设f(t)的Z变换为F(z)，则 f(t) 的初值为,33,.位移定理,例：用位移定理求 f(t) = e-at sin(t)的 Z 变换,设f(t)的Z变换为F(z)，则有,34,6. Z域微分定理,设f(t)的Z变换为F(z)，则有,证：,35,例：用微分定理求 f(t) = t，t0 的 Z 变换,例：用微分定理求 f(t) = t2，t0 的 Z 变换,单位幅值的重极点 发散,36,极点位置与收敛性的关系： a0时,极点幅值1 信号发散 （即重极点与前面单极点的结论相同）,例：用微分定理求 f(t) =
9、te-at，t0 的 Z 变换,37,Z 反变换,1. 长除法,例1：求 的反变换,长除法主要用于求出信号的前面有限个采样时刻值， 一般难以找到 f(nT) 的一般规律，即闭式表达形式。,38,例1 的长除法过程：,（z的多项式除法）,39,例1 的长除法过程：,（z-1的多项式除法）,40,2. 部分分式法,步骤:,把 F(z)/z 展开为部分分式,求各个部分分式项的Z反变换之和,解：,使分解后的分子都含有z,41,练习 B9.1,(6),(7); B9.4,(2),(3); B9.5,(1),(3);,42,三、脉冲传递函数,1、 基本概念,定义：对于线性离散定常系统，在零初始条件下，系统
10、输出采样信号的Z变换与输入采样信号Z变换之比，称为系统的脉冲传递函数。,43,单位脉冲响应的输入信号可看作单位幅值脉冲经理想脉冲调制而产生的，对于有保持器的离散时间系统，单位脉冲响应的实际输入是单位幅值脉冲，即,脉冲传递函数的物理意义,44,任意输入时的响应 y(k) 与单位脉冲响应序列的关系：,45,与前面的结果完全一致！,根据脉冲传递函数的定义求输出y(k)：,该结论实际上就是离散系统的“卷积定理”,46,2、采样系统的开环脉冲传递函数,（1）两个串联环节之间有采样开关隔开,该结论可推广到n个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。,47,48,（2）两个串联环节之间无采样开关隔开
11、,该结论可推广到n个环节直接串联的情况。,49,50,有零阶保持器的开环脉冲传递函数,很有用！,51,52,有无保持器的区别,（1）没有保持器的情况,53,（2）有零阶保持器的情况,由于零阶保持器实际的传递函数为,其分母中含有的与U*(s)的抵消后等价于理想脉冲通过没有的零阶保持器，所以符合实际情况，在分析中不必再考虑的影响。,该结论可以推广到采用其他保持器、以及有保持器的反馈控制系统,54,等价于G0的输入如右图,55,与前面实际情况的结果一致！,56,脉冲传递函数与差分方程,57,差分方程的计算：, 迭代法,计算机作为控制器，执行时也按差分方程进行迭代计算。,58, Z变换法,Z变换法只能
12、用于U(z)确定时， 迭代法则适用于任意的u(k),59,零初始值的含义及差分方程的Z变换：,对上述两个差分方程进行Z变换的效果是一样的,（Z变换利用延迟定理）,（Z变换利用超前定理）,60,（利用延迟定理）,（利用超前定理）,61,零初始值的含义及差分方程的Z变换（续）：,（Z变换利用延迟定理）,（Z变换利用超前定理）,62,由输入输出差分方程求状态空间表达式：,有高阶差分 项时如何求？,不唯一,63,由 脉冲传递函数求状态空间表达式：,引入中间变量 h(k),初值为零,不唯一,64,可控规范形，可直接由传递函数或差分方程写出,所以状态空间模型为,65,线性离散系统状态空间表达式的一般形式,
13、66,由状态空间表达式求脉冲传递函数：,唯一,67,（1）有一个采样开关的闭环系统,3、闭环脉冲传递函数,68,附：闭环脉冲传递函数的推导,69,70,（2）有数字控制装置的采样系统,思考：计算过程有何规律？,71,附：闭环脉冲传递函数的推导,72,（3）有扰动作用的采样控制系统,73,附：扰动作用部分 E1(z) 和 Y1(z) 的推导,74,常见情况：反馈环节为比例环节,75,76,解：,77,y(k)收敛于0.5,极点在单位圆内,78,y(k)收敛于0.25,79,y(k)发散,与T无关,80,K在什么范围内取值时 y(k) 收敛？,y(k)振荡,81,练习 B9.6,(1),(4);
14、B9.7,(a),(b); B9.9;,82,9.4 离散系统的z域分析法,一、离散系统的稳定性,1、S域到Z域的映射,根据Z变换定义，有,83,（1）稳定条件（开、闭环）,2、离散系统的稳定性,84,（2）闭环系统的稳定条件,85,86,（3）低阶系统的稳定性判别（一、二阶）,TK的稳定域；T0 K的稳定域连续系统的情况,（连续系统的特征式为 s+1+K ）,87,（4）高阶系统的稳定性判别,可以使Z平面映射为类S平面: Z平面的单位圆 W平面的虚轴； 单位圆内 W平面的左半复平面； 单位圆外 W平面的右半复平面。,采用双线性变换,为何不直接映射为S平面？,能否利用劳斯判据,88,Z平面的单
15、位圆映射为W平面的虚轴； Z平面的单位圆内映射为W平面的左半复平面； Z平面的单位圆外映射为W平面的右半复平面；,在W平面应用劳斯判据与在S平面完全相同。,Z平面与W平面的映射关系,89,90,为使采样系统稳定，应使所有系数0, 所以有 0 K 17.3,比较：对于没有采样开关的二阶连续系统， K的稳定域是 K0。（特征式为s2+4s+K）,加入采样开关通常对系统的稳定性不利，而提高采样频率，稳定性将得到改善，但最多与连续系统一样。,改变T会有什么结果？,91,用根轨迹法可以得出同样的结论,绘制根轨迹图无须变换，直接针对G(z)即可；,分析稳定性是看根轨迹法的哪些部分位于Z平面的单位圆内。,利
16、用MATLAB绘图： a=zpk(0, 1, 0.368, 0.158, Variable, z ) rlocus(a),极点,零点,增益,92,根轨迹图,93,94,要求第一列0，所以有K的稳定域为 0 K 0.4001 （由一、三行条件得）,比较：对于无采样开关时的 连续系统，K的稳定域为 0 K 2,95,根轨迹图,96,二、离散系统极点分布与暂态性能,系统响应由暂态和稳态分量组成，稳态分量主要取决于输入，而暂态分量则主要取决于系统传函；,系统传函的极点决定了暂态分量的基本形态，也就是决定了响应的发散或收敛、以及收敛情况下的快速性和平稳性； 与连续系统类似，系统传函可按极点进行部分分式分解，总的响应是各部分响应的叠加。,97,S平面与Z平面的对应关系：,根据Z
