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1、高中数学中的对称与对称问题新泰一中 闫辉对称和对称问题在高中数学课本中虽然没有专门研究，但在高中数学中多处出现。纵观历届高考试题对称问题频频考查，应引起我们足够重视。下面对这类问题的解法作了一点归纳，供同学们参考。一、对称的基本问题举例（1）点关于点的对称点问题 点关于点的对称问题是最基本对称，是解答其它对称问题的基础。（利用中点坐标公式） 点关于原点的对称点为点关于点的对称点为曲线关于点的对称曲线为例1：已知点，试求A点关于B点的对称点C的坐标。略解（2）直线关于点的对称直线问题 直线关于点的对称直线为特殊地：直线关于原点的对称直线为例2：求直线关于点对称的直线方程。略解 整理得（3）点关于
2、直线的对称点问题 常见的点关于直线的对称点坐标之间关系，在此再强调一次必须记熟。点关于x轴的对称点为点关于y轴的对称点为点关于直线y=x的对称点为点关于直线y=-x的对称点为点关于直线x=m的对称点为点关于直线y=n的对称点为点关于直线的对称点的求法：令，则有 解此方程组，可得对称点的坐标。（点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数（仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单）例3：求点关于直线的对称点坐标。解 设是点关于直线的对称点，则有 解得，所以对称点坐标为（4）直线关于直线的对称直线问题 常见的直线关于直线的对称直线关系。直线关于x轴的对称直线为直线直线关
3、于 y轴的对称直线为直线直线关于 y=x的对称直线为直线直线关于 y=-x的对称直线为直线直线关于的对称直线为直线直线关于的对称直线为直线直线关于直线的对称直线的一般求法：（1）先求出与的交点，则该交点在直线上；（2）再用“到角公式”（其中分别为，的斜率）求出的值。例4：已知直线若直线与关于直线对称，则的方程是（ ）（高端教学高考回览2）A BC D略解1 的方程是选B入射线反射线略解2（1）交点坐标；（2），解得。二、有关光的入射线、反射线问题例5：光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程。略解 （1）交点坐标；（2），解得。根据点斜式可得：反射光线所在的直线方程为例6：光线从
4、点A（-2，4）射出，经直线反射，若反射光线过点B（5，8），求（1）反射光线所在直线方程；（2）光线从A到B经过的路程S。（高端教学例3之变式综合拓展）略解（1）点A（-2，4）关于直线的对称点。根据两点式可得反射光线所在直线方程为：；（2）。三、对称问题的应用（高端教学创新思维篇）立意利用直线的对称知识及三角形三边的关系求距离的最值。探究求满足下列条件的点及最大、最小值：（1）已知点A（-3，5），B（2，15），试在直线上找一点P，使|PA|+|PB|最小，并求出最小值；（2）已知点A（4，1），B（0，4），试在直线上找一点P，使|PA|-|PB|的绝对值最大，并求出最大值。略解（1）点A（-3，5）关于直线的对称点直线解方程组得此时为所求最小值若在直线上任取异于点的任意点，则由（三角形两边之和大于第三边）知只有所求的点满足题意。（2），最大值为。小结：设点关于直线的对称点为，设直线与直线相交于点。若在直线的同一侧，则最小；若在直线的异侧，则最大。3
