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1、 第一章第一章 事件与概率事件与概率 1、解：、解： (1) P 只订购 A 的 =PA(BC)P(A)-P(AB)+P(AC)-P(ABC)=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30. (2) P只订购 A 及 B 的=PAB-C=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07 (3) P只订购 A 的=0.30, P只订购 B 的=PB-(AC)=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23. P只订购 C 的=PC-(AB)=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20. P 只订购一种报纸的 =P只订购 AP只订购 BP只订购 C=0.30+0.23+0
2、.20=0.73. (4) P正好订购两种报纸的 P(AB-C) (AC-B) (BC-A)=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC) =(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14. (5) P至少订购一种报纸的= P只订一种的+ P恰订两种的+ P恰订三种的 =0.73+0.14+0.03=0.90. (6) P不订任何报纸的=1-0.90=0.10. ACABAABCABCA=且显然)(2、解：、解： （1）ABC，若 A 发生，则 B 与 C 必同时发生。 （2），B 发生或 C 发生，均导致 A 发生
3、。 AC =且ABACBACBA （3）与 B 同时发生必导致 C 发生。 ACAB CBABCA，A 发生，则 B 与 C 至少有一不发生。 （4） n AAA? 21 )()( 11121 += nn AAAAAA?3、解、解： 121 121 +n n AAAAAAA? (或) CAB4、解：、解： （1）=抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员； CBA =抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员。 ABCAABC=（2），当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 BC （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时，成立。 CBACA=（4）A=B 及，当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体，也
4、 就不是运动员的学生全体时成立。 也可表述为： 当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学 生，并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5、解：设袋中有三个球，编号为 1，2，3，每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点（1） ， （2） ， （3） 。设,2,1,3 , 2 , 1,3=BABABAA 3,3 , 1,2 , 1=CBA ，则 1 3 , 2 , 1=+CA。 6、解、解： （1）至少发生一个=. DCBA CABDBACDDABCCBADDBACDCAB+. （2）恰发生两个= DCAB（3）A，B 都发生而 C，D 都不发生=. DCBADCBA=. （4）都不发
5、生= CBADDBACDCABDCBADCBA+ （5）至多发生一个= CDBDBCADACAB=. 7、解：、解：分析一下之间的关系。先依次设样本点 i E i E，再分析此是否属于 等。 （1）为不可能事件。 ),(),(ikijEEijE kjj 6 E 41E E （2）若 5 E，则)4 , 3 , 2 , 1( =iEi，即= i EE5。 （3）若 4 E，则 32, EE。 （4）若 3 E，则必有 2 E或 1 E之一发生，但 21E E。由此得 , 32313 EEEEE=，= 321 EEE。 （5）若 2 E，则必有 1 E或 3 E之一发生，由此得 = 06 ,EE
6、23212 EEEEE=。 （6）中还有这样的点 1 E：12345，它仅属于，而不再属于其它 1 E)0 , 1( iEi。诸之间的 关系用文图表示（如图） 。 i E 8、解：、解： （1）因为，两边对 x 求导得 nn nnn n xnCxCxCx+=+? 221 1)1 ( 1211 2)1 ( +=+ nn nnn n xnCxCCxn?，在其中令 x=1 即得所欲证。 （2）在上式中令 x=-1 即得所欲证。 （3）要原式有意义，必须ar 0。由于，此题即等于 要证.利用幂级数乘法可证明此式。因为 kb b k b rb ba ra ba CCCC + + + =, = + + +
7、 = a k rb ba kb b rk a arCCC 0 0, baba xxx + +=+) 1() 1() 1(，比较等式两边的系数即得证。 rb x + 9、解：、解：15. 0 33 5 / 3 11 1 5 1 5 1 6 =AAAAP 10、解：、解： （1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任 意排，所以 5/2!5/ !42=p 1 E 21E E 31E E 5 E 32E E 2 （2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五 卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/ !32=p （
8、3）p=P第一卷出现在旁边+P第五卷出现旁边-P第一卷及第五卷出现在旁 边= 10 7 10 1 5 2 5 2 =+. 10/310/71=P（4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 （5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以 5/1!5/ !41=P 11、解、解：末位数吸可能是 2 或 4。当末位数是 2（或 4）时，前两位数字从剩下四个数字中 选排，所以 5/2/2 3 5 2 4 =AAP 12、解、解： m n m n m n m n CCCCP 3 3/ 3 21 = 13、解、解：P两球颜色相同=P两球均白+P两球均黑+P两球均红 33. 0 625 207
9、25 9 25 15 25 6 25 7 25 10 25 3 =+=. 14、解、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则 n 个号码必然全不相同，。N 个不 同号码可产生种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种 组合对应一种严格上升排列，所以共有种按严格上升次序的排列。总可能场合数为， 故题中欲求的概率为. Nn !n n N C n N nn N NCP/= 15、解法一、解法一：先引入重复组合的概念。从 n 个不同的元素里，每次取出 m 个元素，元素可 以重复选取，不管怎样的顺序并成一组，叫做从 n 个元素里每次取 m 个元素的重复组合， 其组合种数记为 m m
10、n m n CC 1 + =. 这个公式的证明思路是，把 n 个不同的元素编号为,n， 再把重复组合的每一组中数从小到大排列， 每个数依次加上 ?, 2 , 1 1, 1 , 0m?,则这一组数就变成 了从共个数中，取出 m 个数的不重复组合中的一组，这种运算构 成两者之间一一对应。 1+mn1, 2 , 1+ mn? 若取出 n 个号码按上升（不一定严格）次序排列，与上题同理可得，一个重复组合对 应一种按上升次序的排列，所以共有 n N C 种按上升次序的排列，总可能场合数为，从而 n N nn nN nn N NCNCP/ 1+ =. 解法二：解法二：现按另一思路求解。取出的 n 个数中间
11、可设 n-1 个间壁。当取出的 n 个数全部 3 相同时，可以看成中间没有间壁，故间壁有种取法；这时只需取一个数字，有种取 法；这种场合的种数有种。当 n 个数由小大两个数填上，而间壁的位置有种取 法；数字有种取法；这种场合的种数有种。当 n 个数由三样数构成时，可得场 合种数为种，等等。最后，当 n 个数均为不同数字时，有 n-1 个间壁，有种取 法；数字有种取法；这种场合种数的种。所以共有有利场合数为： 0 1n C 1 N C 10 1Nn CC 1 1n C 2 N C 21 1Nn CC 1 1 n n C 32 1Nn CC n N C n N n n CC 1 1 n nN n
12、N n nNnNnNn CCCCCCCCCm 1 1 1 32 1 21 1 10 11+ =+=?. 此式证明见本章第 8 题（3） 。总可能场合数为，故所还应的概率为 n Nn = 1 nn nN NCnmP/ 111+ =. 1, 2 , 1M?16、 解、 解： 因为不放回， 所以 n 个数不重复。 从中取出 m-1 个数， 从 中取出个数，数 M 一定取出，把这 n 个数按大小次序重新排列，则必有。 故。当 , 1NM?+ mnMxm= 11乙掷出反面数。考 虑AA=甲掷出正面数乙掷出正面数。设发生。若乙掷出 n 次正面，则甲至多掷出 n 次正面，也就是说乙掷出 0 次反面，甲至少掷
13、出 1 次反面，从而甲掷出反面数乙掷出反面 数。若乙掷出次正面，则甲至多掷出1n1n次正面，也就是说乙掷出 1 次反面，甲至少 掷出 2 次反面，从而也有甲掷出反面数乙掷出反面数，等等。由此可得 B=乙掷出反面数甲掷出反面数乙掷出正面数甲掷出正面数 =A. 1)()()()(=+=+APAPBPAP 5 ),()(BPAP=显然 A 与 B 是等可能的，因为每人各自掷出正面与反面的可能性相同，所以 从而 2 1 )(=AP。 解法二：解法二：甲掷出个硬币共有个等可能场合，其中有个出现 0 次正面，有 1+n 1 2 +n0 1+n C 1+n 1 1+n C个出现 1 次正面，个出现 1 1
14、+ + n n C次正面。乙掷 n 个硬币共有个等可能 场合，其中有个出现 0 次正面，个出现 1 次正面，个出现 n 次正面。若甲掷 个硬币，乙掷 n 个硬币，则共有种等可能场合，其中甲掷出正面 比乙掷出正面多的有利场合数有 n 2 n n C 0 n C 1 n C 1+n 121 1 222 + = nnn n ?+= + )()( 2103 1 102 1 01 11nnnnnnnnn CCCCCCCCCm )()( 101 1 110 1 n nnn n n n nnn n n CCCCCCCC+= + + + ? 利用公式及得 1 1 + += r n r n r n CCC n
15、n n n CC= + + 1 1 +=?)()()( 210321021010 1nnnnnnnnnnnn CCCCCCCCCCCCm )()( 101101n nnn n n n nnn n n n n CCCCCCCCC+ ? += xyyx或不等式 。由几何概率得， 事件 A 的概率等于GDH 及FMN 的面积之和与正方形 CDEF 的面积之比，所以 4 1 ) 11/() 2 1 2 1 2 1 2 1 ( 2 1 )(=+=AP 2211 ,xAXxAXaAB=29、解：、解：设则 2 x axax 21 0,0， a ),( 21 xx与由上述条件决定的正方形 EFGH 内的点是一一 I 对应的（如图） 。 （I）设。 12 xx , 122111 xxXXxA
