1质点运动学剖析

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1、力 学,第一篇,（牛顿力学）,（宏观低速）,（宏观高速）,运动学(kinematics),动力学(dynamics),静力学(statics),只描述物体的运动，不涉及引起运动和改变运动的原因。,研究运动与相互作用之间的关系。,研究物体在相互作用下的平衡问题。,牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动, 是整个物理学的基础, 广泛应用于工程技术,第1章 质点运动学,1.2 质点的位移、速度和加速度,1.1 质点的位置,1.3 直线运动,1.4 平面曲线运动 自然坐标系,1.5 相对运动,一、 质点,理想化的物理模型,1.1 质点的位置,物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。,把物体当作

2、质点是有条件的、相对的：当物体的大小和形状对运动没有影响或影响可以忽略。,物理学中有很多抽象模型： 质点、刚体、理想气体、点电荷、,研究地球,自转:形状不可忽略,公转: 天体的作用力和形状均可忽略,质点模型,刚体模型,运动具有绝对性，而对运动的描述却是相对的。,二、 质点位置的确定方法,为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参考，被选作参考的物体或物体系称为参考系。,对同一物体同一运动，参照不同的物体来描述， 描述的也可能不同。运动描述的相对性, (运动学中)参考系可任选,太阳参考系 地心参考系 地面参考系 质心参考系, 常用参考系：,要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用数学手段，

3、在参照系上建立坐标系。,1、坐标系,常用的有直角坐标系(x,y,z)，极坐标系(,)，球坐标系(R, )，柱坐标系(R, , z )。自然坐标系。,2、位矢,在坐标系中，用来描述质点所在位置的矢量，叫做位置矢量，简称位矢。,从坐标原点指向质点所在位置的有向线段：,直角坐标系中，位矢可表示为：,方向：,大小：,方向余弦,分别是x、y、z方向的单位矢量,三、 运动方程,质点的位置随时间变化的函数关系式，称为运动方程。,用直角坐标系,或,-质点沿各坐标轴的分运动,表明：质点的实际运动是各分运动的矢量合成,轨道方程,运动方程中消去时间变量 t：, 圆周运动轨道方程,注意： 运动方程轨道（迹）方程,已知

4、质点的运动函数为 则该质点的轨道方程为.,由运动方程知,x=4t2,解：,y=2t+3,消去t , 得轨道方程：,x=(y-3)2,例,1.2 质点的位移、速度和加速度,一、 位移,质点沿曲线运动,时间内位置变化,时间间隔内的位移。,定义： 为质点在,即： 位移等于位矢的增量!,讨论1：,位移（位矢增量）的大小：,位矢大小的增量：,在直角坐标系中的表式为,大小：,如图，一般情况下,比较位移和路程,位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点运动轨迹无关，只与始末点有关。 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点运动轨迹有关。,讨论2：,路程： 时间内质点运动路径的长度,例如质点运动一周

5、，位移为零，路程为周长。,二、速度,1、平均速度,在t 时间内的位移与时间的比值。,设,e.g.,则在 t=0 至 t=1s 内的平均速度,一维情形，设x=6tt2(SI),则在t=0至t=4s内的平均速度：,2、（瞬时）速度,速度的方向：,质点所在处轨迹的切线指向前进的方向。,A,B,B,速度等于位矢对时间的一阶导数！,设,e.g.,则t=1s 末的速度,一维情形，设x=6tt2(SI),则在t=4s末的速度：,平均速率：,（瞬时）速率：,速度与速率的关系,区别：速度是矢量，速率是标量。,讨论1：,质点在t 时间内的路程与时间的比值。,速率等于路程对 时间的一阶导数！,平均速度：,瞬时速度,

6、速度的大小是否等于速率？,一般，平均速度的大小不等于平均速率。,讨论2：,速度的大小等于速率！,讨论3：,加速度,质点运动函数为x=6tt2(SI),则在t由0至4s的时间间隔内, 质点走过的路程为.,令v=0, 得t=3s,解：,S=x(3)x(0)+x(4)x(3),何种运动？,思考,v=dx/dt,=62t,折返时刻,=10m,例,三、加速度,1、平均加速度：,质点在t 时间内的速度增量与时间的比值,方向： 的方向,2、(瞬时) 加速度,加速度等于速度对时间的一阶导数。,的极限方向,方向：,对于一个运动质点，下面哪种情况不可能发生,质点具有恒定速度，但有变化的速率； 质点具有恒定的速率，

7、但有变化的速度。 质点加速度为零而速度不为零； 质点的加速度不为零而速度为零。 幻 28,解：,OA: v0, a0;,质点沿X轴作直线运动, 其x-t 曲线可分为四个区间. 问:在各区间, 质点的速度、加速度分别是正、负、还是零？,导数的几何意义,AB: v=0, a=0;,BC: v0, a0;,CD: v0, a=0.,各区间，何种运动？,思考,例,在 t 时刻，描述质点运动的物理量是,三者之间的关系是,运动学问题的基本定义式,即解决问题的基本出发式,在直角坐标系中可写成：,由式,有：,注意：直角坐标系中, 三个单位矢量方向不随时间改变,式中没有出现:,因此(B),1）已知 r = r

8、(t )，,求 v，a,质点运动学的两大类问题：,(求导),2）已知 a (t ) 或 v (t )，求 r (t ),由a (t )加初始条件 r0、0,(积分),解：,(B),的大小随时间变化，但方向不变.,式中幂次改变，结果？,思考,【例】已知质点位矢的表示式为 (a、b为常量)，则该质点作,(A)匀速直线运动 (B)变速直线运动 (C)抛物线运动 (D)一般曲线运动.,【例】质点的运动函数为 x=3+5t+6t2t3 (SI),则t=0时，速度v0=； 加速度为零时，速度v=.,解：, v0=5 m/s, v=17 m/s, t=2s,加速度为零时，速度值是否极大？,思考,v=dx/d

9、t,= 5+12t3t2,a=dv/dt,=126t,加速度,【例】 一质点的运动方程为,求：1）质点的轨道方程； 2）任意时刻的位矢、速度、速率和加速度。,1）,2）,解：由定义得,2）已知 a (t ) 或 v (t )，求 r (t ),求积分。,若 t =0时，,1）已知 r = r (t )，,求 v，a 求导数；,质点运动学的两大类问题：,返回,【例】质点在XOY平面上运动,加速度度,解：,思考,若质点初位矢 , 则任意时刻位矢?,则质点任意时刻的速度,，初速度,【例】某物体的运动规律为dv/dt= kv2t (k为常量), t=0时, v=v0，求v与t的函数关系,解：,思考,若

10、dv/dt=a(常量)，结果？,37直线运动,证明：,【例】电艇在关机后，有dv/dt= kv2(k为常量). 试证：电艇此后行驶距离x时的速度为 , 其中v0是电艇关机时的速度.,思考,关机后行驶x距离所需要的时间？,分别用 x、x、v、a 表示, 其正、负,问题：已知 a (t ) 或 v (t ) 及初始条件v0 , x0，求 x (t ),分别代表各相应矢量的方向沿 x 轴正、负向。,当 a =恒量时，为匀变速直线运动：,当 a =0时，为匀速直线运动：,x = x0+ v0t,v = v0+ a t,v = v0,1.3 直线运动,将,2）已知 a (t ) 或 v (t )，求 r

11、 (t ),求积分。,若 t =0时，,1）已知 r = r (t )，,求 v，a 求导数；,质点运动学的两大类问题：,返回,解：,例: 一质点沿直线运动，加速度为a=0.2v，若开始时的速度为v0=5ms1，x0=0，求v(t)、x(t),和质点运动的总距离。,分离变量，,积分:,当,即,得：,又,得,运动学第二类问题,41曲线运动,例: 一质点沿x轴运动，加速度随位置的变化关系为 a =3+2x，已知 x =0处速度v0= 5m s1，则在 x =4m处，速度 v 等于多少？,解：,第二类问题。已知a = a (x)高等数学工具应用,1.4 平面曲线运动 自然坐标系,运动的独立性与叠加性

12、 运动的独立性：如果一个质点同时参与几个 分运动，其中任何一个运动都不受到其他运 动的影响，就好像只有自己存在一样。 运动的叠加性：质点的一般运动可以看做由 几个相互独立的运动的合成。且合成的物理 量满足平行四边形法则。,根据运动的独立性与叠加性，可以将一般运动 看做由几个相互独立的运动的合成。,在地球附近的空间内，在忽略空气阻力的情况 下，抛体运动是只受重力作用的运动，即 对于平面抛体运动， 选直角坐标系如图，,一、抛体运动,以抛出点为坐标原点，则：,水平方向的匀速运动+竖直方向的匀加速运动,利用直线运动的结果，得：,将T代入x，可求射程：,令 y0，可求出飞行时间：,运动叠加原理.swf,

13、S,o,R,A,B,s,an,使AE=AC,法向加速度,1. 圆周运动的加速度,二、圆周运动的加速度 自然坐标系,由相似三角形,A,向心,ACE相似于OAB,方向： 的极限方向,o,R,A,B,s,an,使AE=AC,A,方向：切向！,法向加速度,切向加速度,综上讨论可得圆周运动的加速度为,大小：,方向：,指向曲线凹侧,只反映速度方向的变化,1）法向加速度,2）切向加速度只反映速度大小的变化,可正可负,2. 自然坐标系,质点所在点的速度方向(切向)的单位矢量,与 垂直并指向曲线凹侧(法向)的单位矢量,规定依赖于质点的单位矢量:,如质点作圆周运动,t 时刻,运动到P点,单位矢量如图示,法向方向指

14、向圆周的圆心， 该点运动的加速度是,三、一般平面曲线运动,质点在t 时刻运动到P点,在该点曲率圆周上运动,法向加速度指向曲率圆心,设曲率圆半径为 ，则,质点所在轨道上某点的曲率半径,大小：,方向：,总是指向曲线凹侧,讨论,a= 0 ，a n= 0 匀速直线运动,根据a、an的取值情况，即可判断质点做,a= 0 ，a n 0 匀速曲线运动,a 0 ，a n= 0 变速直线运动,a 0 ，a n 0 变速曲线运动,何种运动。如：,反映速度大小变化的快慢,反映速度方向变化的快慢,例：求如图所示的抛体轨道顶点处的曲率半径,解：在轨道顶点,由,得,例： 质点在 xoy 平面中运动，运动方程为x = 6t

15、，y = 4t28。求t =1s 时,质点的速率、切向加速度、 法向加速度及该点轨道的曲率半径。,解,所以 t =1s时，a= 6.4ms2,vx=,vy=,也待求，应先求,所以,又,ax=,ay=,所以,基本定义式,圆周运动时，由于轨迹确定，用角量较为方便。,1. 圆周运动的角量描述,三、圆周运动的线量和角量关系,角运动方程,角位置,角位移,角速度,角加速度,角量与线量一一对应（定义、物理意义、公式）,特点：R,匀变速圆周运动,匀速(率)圆周运动,当,当,若已知 ，求 和,角量描述的运动学第二类问题用积分求解：,2. 角量与线量的关系,v = r,a= r,an= r2,即,两边求导,线量：,S 线位移(弧长),线速度,切向加速度,法向加速度,角量：,角位移(rad),角速度(rad/s),角加速度(rad/s2),线量与角量的关系：,匀变速率圆周运动：,例：质点沿半径为0.1m的圆周运动，其角位置=2+4t2 (SI)，则t=2s时， an=