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1、1,第二篇 运动学,运动学,运动学的一些基本概念,是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。,建立机械运动的描述方法 建立运动量之间的关系,为后续课打基础及直接运用于工程实际。,:参考体(物);参考系;静系;动系。,1)点的运动 2)刚体的运动,引 言,第五章 点的一般运动与刚体的基本运动,第5章 点的一般运动与刚体的基本运动,5.1 描述点运动的矢量法 5.2 描述点运动的直角坐标法 5.3 描述点运动的自然坐标法 5.4 刚体的平行移动 5.5 刚体的定轴转动,5,一.运动方程，轨迹 二.点的速度 平均速度 三.加速度,运动学,5-1
2、 点的运动矢量分析方法,6,一.运动方程轨迹 二.点的速度,运动学,5-2 点的运动的直角坐标法,7,三. 加速度.,注 这里的 x,y,z 都是时间单位连续函数。,当消去参数 t 后,可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程。,运动学,8,6-3 点的运动的自然坐标法,以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。,运动学,一.弧坐标,自然轴系,1.弧坐标的运动方程S=s (t),二、曲率和曲率半径,曲率的倒数称为曲率半径，M点处的曲率半径为,定义曲线在M点处的曲率为,圆的曲率半径就是圆的半径。直线的曲率为0，曲率半径 。,三、自然坐标系,法平面与切线垂直的平面
3、。,主法线密切面与法平面的交线。 其单位矢量用n表示。,副法线法平面内垂直于密切面的法线。 其单位矢量用b表示。,自然坐标系由切线、主法线和副法线组成的正交 坐标系。,自然坐标系随点的位置不同而改变。,密切面令点 无限趋近于点 M 时， 由 和 所确定的极限平面。,11,3.点的速度,显然,以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系。,经过 t时间,点沿轨迹由M到M，矢径有增量 ，则,2.自然轴系,12,(1)切向加速度 （表示速度大小的变化）,4.点的加速度,(2)法向加速度 （ 表示速度方向的变化）,13,由图可知,14,运动学,指出在下列情况下
4、,点M作何种运动?, , , , ,(匀变速直线运动),(匀速圆周运动),(匀速直线运动或静止),(直线运动),(匀速运动),(圆周运动),(匀速运动),(直线运动),(匀速曲线运动),(匀变速曲线运动),15,椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点M 的轨迹方程。,已知:,例 题,16,考虑任意位置， M点的坐标 x，y可以表示成,消去上式中的角j ，即得M点的轨迹方程:,解:,17,半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（纯滚动）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC
5、组成交角=t，其中是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。,O,H,C,D,M,x,y,例 题,18,在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=弧MH 。于是，在图示瞬时动点M 的坐标为,解：,1.求M点的运动方程。,19,这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一转的时间 T=2/ ，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。,O,A,H,B,C,D,M,x,y,以 代入，得M点的运动方程,对,E,例 题 6-7,
6、20,求坐标 x，y 对时间的一阶导数，得,故得M点速度 v 的大小和方向,M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。,O,A,H,B,C,D,M,P,x,y,2.求M点的瞬时速度。,例 题 6-7,21,求vx，vy对时间的一阶导数，得,故得M点加速度 a 的大小和方向，有,x=0, y=0;,当t = 0时，有,这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。,O,A,H,B,C,D,M,P,E,x,y,3.求M点的瞬时加速度。,例 题 6-7,22,例,由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它
7、在空间的,运动学,刚体的基本运动是指刚体的平行 移动和转动。,5-5 刚体的平行移动(平动),基本运动,23,OB作定轴转动，CD作平动,AB、凸轮均作平动,运动学,位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。,刚体平行移动的定义: 刚体在运动中,其上任意两点的连线始终与它的初始位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。,24,运动学,一.刚体平动的定义: 刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变。 由A,B 两点的运动方程式: 而,例,AB在运动中方向和大小始终不变 它的轨迹,可以是直线 可以是曲线,25,运动学,得出结论
8、:即,平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样，各点的运动轨迹形状相同。 即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。,一.刚体定轴转动的特征及其简化 特点:有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平 面上做圆周运动。,刚体的定轴转动,26,二.定轴转动刚体的转动方程 如图所示转角,是固定面A与固连在转动刚体上的动平面B的夹角。 确定了刚体的位置，它的符号规定如下：从z 轴正向看去,逆时针为正 ，顺时针为负。因而刚体绕定轴转动的运动方程为, = (t) 单位用弧度(rad),27,3. 定轴转动刚体的角速度和角加速度 角速度：,工程中常用单位还有 n 转/分(r / min),n与w 的关系
9、为:,角速度也为代数量。单位用rad/s(弧度/秒）。,描述定轴转动方向及快慢的量是角位移对时间的变化率称为角速度，用表示,28,角加速度:,如果与 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动,（1）匀速转动 当 =常数,为匀速转动时。有,单位: rad/s2,下面讨论两种特殊情况。, = 0+ t,这里 0是 t = 0 时转角 的值。,描述角速度变化方向及快慢的量是角速度对时间的变化率，称为角加速度，用表示,29,(2) 匀变速转动 当 =常数,为匀变速转动时。有,这里 0和 0是t = 0 时转角和角速度。,30, , 对整个刚体而言(各点都一样)； v, a 对刚体中某个点而言(各点不一样
10、)。,运动学,(即角量与线量的关系),转动刚体内各点的速度和加速度,一.线速度V和角速度之间的关系,31,运动学,二.角加速度 与an ,a 的关系,32,运动学,结论: v方向与 相同时为正 , R ,与 R 成正比。 各点的全加速度方向与各点转动半径夹角 都一致,且 小于90o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:,各点速度分布图,各点加速度分布图,5.5.3 轮系的传动比,1. 齿轮传动,由于传动时两齿轮之间只有相对滚动而无相对滑动，故两接触点处的线速度和切向加速度大小相等，方向相同。,vM1=vM2,由于,定义两齿轮的传动比为：,2. 皮带轮和链轮传动,皮带轮传动的特点是：假设皮带
11、不可伸长，皮带与皮带轮之间无相对滑动；皮带或链条上各点的速度v和切向加速度at都相同。,定义两齿轮的传动比为：,例5-6 图5-19为一减速器，轴为主动轴，与电动机相联。已知电动机转速n = 1450 r/min，各齿轮的齿数z1 = 14，z2 = 42，z3 = 20，z4 = 36。求减速器的总传动比i13及轴III的转速。,解 各齿轮作定轴转动，为定轴轮系的传动问题。,轴I与II的传动比为,轴II与III的传动比为,从轴I至轴III的总传动比为,代入已知数据，得总传动比为,轴III的转速为,其转向如图所示。,37,运动学,角速度和角加速度的矢量表示 点的速度和加速度的矢量表示,一. 角
12、速度和角加速度的矢量表示,按右手定则规定 ， 的方向。,38,二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示,运动学,39,荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；转角0的单位为rad，试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M的速度和加速度。,例 题,M,40,M,由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。,为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为,将上式对时间求导，得A点的速度,解：,A,41,M,再求一次导，得A点的切向加速度,代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：,A点的法向加速度,42,例4 已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM0.4m， 在 某瞬时测得,求： 转动方程; t5s时，点的速度和 向心加速度的大小。,解：,运动学,M,43,当5s时，,运动学,M,44,静力学,本章结束,
