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1、高等动力学,中国矿业大学力建学院力学系 李毅,2-1,目 录,第三章 运动稳定性基础 3-1 基本概念 3-2 相平面方法 3-3 李雅普诺夫直接方法 3-4 一次近似稳定性理论 3-5 机械系统的稳定性,2-2,3-1 基本概念,2-3,稳定：受扰运动与未扰运动相差不大。 不稳定：受扰运动与未扰运动相差大。,1. 扰动方程,2. 李雅普诺夫稳定性定义,李雅普诺夫稳定性的定义基于以下条件：在同一微分方程支配下，受扰运动仅由初扰动引起，在初扰动后，系统不再受其他扰动，且受扰运动与未扰运动在 t无限时间内的同一时刻进行比较。,轨道稳定性只要求受扰运动轨道与未扰运动轨道充分接近，但同一时刻两者可能相
2、距甚远。,3-2 相平面方法,不显含时间 t 的系统称为自治系统。对单自由度自治系统，其运动过程可由相平面内的轨迹来描述。 系统平衡对应相迹为奇点。 根据李雅普诺夫稳定性的几何解释，可从奇点的不同类型，确定奇点附近的相迹走向，从而确定系统平衡状态的稳定性。这种直观的几何方法称为相平面方法。,1. 保守系统的能量积分,2. 相轨迹特性,每一条相迹代表系统的一种可能的运动状态。所有相迹代表所有可能的运动状态，也包括平衡状态。考虑到初始条件的连续性，相轨迹一般来说可以充满相平面（整个或局部） 。获得相轨迹可由运动方程亦可由上述方程。,显然，平衡状态的相迹为一个点，反之，相轨迹退化为一个点时（称为奇点
3、），对应于一个平衡状态。,研究平衡状态的稳定性，可由奇点的特征获得。因为根据李雅普诺夫稳定性定义，扰动引起的相迹改变在奇点的附近（邻域），称为（平衡）稳定。因此 “中心” 对应于稳定平衡状态 “鞍点” 对应于不稳定平衡状态,奇点分类： （1）中心，指奇点周围的相迹为围绕奇点的类型 （2）鞍点，指奇点周围的相迹有不围绕奇点的类型,根据相迹方程（3.2.4），相迹奇点的类型可由势能函数V(x)获得。总结如下：,拉格朗日定理 若单自由度保守系统的势能在平衡位置处有孤立极小值，则平衡稳定，否则不稳定。 该定理称为“拉格朗日-狄里克雷定理”，简称“拉格朗日定理”,中心：对应于单摆下垂位置 鞍点：对应于单
4、摆倒立位置 结论：单摆下垂位置稳定， 单摆倒立位置不稳定,4. 静态分岔,庞加莱方法:,5. 耗散系统,3-3 李雅普诺夫直接方法,不求解运动微分方程，而是根据扰动微分方程本身直接判断其零解的稳定性。,1. 定号，半定号和不定号函数,2. 李雅普诺夫定理,上述定理的严格数学证明可参考有关文献。 下面，我们从几何观点给出不严格但直观的证明。,3. 拉格朗日定理,在3-2中给出了单自由度保守系统稳定性的拉格朗日定理。利用李雅普诺夫直接方法，可以进一步证明，拉格朗日定理也适用于任意自由度的保守系统系统。,取系统的哈密顿函数 H=T+V 为李雅普诺夫函数，其中动能为广义速度的正定二次齐次函数，将平衡位
5、置作为势能的零点。若势能在V平衡位置取孤立极小值，则 V为广义坐标的正定函数。因此 H=T+V为正定函数。 由于保守系统存在能量积分，T+V均为常数，其沿扰动方程的解曲线的全导数必等于零。根据李雅普诺夫的定理一，平衡位置稳定。,拉格朗日定理：若势能V在平衡位置取孤立极小值，则保守系 统的平衡稳定。,切塔耶夫定理：若势能V在平衡位置取孤立极大值，且V为广 义坐标的二次齐次函数，则保守系统的平衡不稳定。,3-4 一次近似稳定性理论,李雅普诺夫直接方法理论上适用于一切非线性系统，但由于缺乏普遍适用的构造李雅普诺夫函数的方法，因此，实际应用时存在不少困难。 线性系统已经发展的十分完善。将非线性系统近似
6、化为线性系统，称为一次近似系统。能否用一次近似系统的稳定性分析代替非线性系统的稳定性分析，需要研究。 本节首先研究线性系统的稳定性准则，然后给出李雅普诺夫一次近似理论。,1. 线性系统的稳定性准则,由于线性微分方程组的通解是由基本解的线性组合构成，因此方程组（3.4.3）的零解稳定性可根据特征值的实部符号判定。归纳为以下定理。,线性方程组稳定性准则 定理一：若所有特征值的实部为负，则线性方程组的零解渐近稳定。 定理二：若至少有一特征值的实部为正，则线性方程组的零解不稳定。具有正实部的特征值数目称为不稳定度。 定理三：若存在零实部的特征值，且为单根，其余根无正实部，则线性方程组的零解稳定，但不是
7、渐近稳定。若为重 根， 则零解不稳定。,2. 李雅普诺夫一次近似理论,以上三定理适用于线性系统，李雅普诺夫证明，在一定条件下，从一次近似方程的稳定性推断原方程的稳定性。归纳为以下定理。 定理一：若一次近似方程的所有特征值的实部为负，则原线性方程组的零解渐近稳定。 定理二：若一次近似方程至少有一特征值的实部为正，则原方程组的零解不稳定。 定理三：若一次近似方程存在零实部的特征值，其余根无正实部，则不能判断原方程组的零解稳定性。,定理一和定理二与线性系统相同，定理三为临界情况，线性系统能判断稳定与否。但非线性系统不行，此时非线性系统的稳定性在很大程度上取决于略去的高次项。,3. 劳斯-赫尔维茨判据
8、,一次近似方程的全部特征值实部为负，是一次近似方程也是原方程的零解渐近稳定的充分条件。 1895年提出的劳斯-赫尔维茨判据是判断此条件是否满足的实用方法。设线性方程组的特征方程展开后的一般形式为：,3-5 机械系统的稳定性,工程机械系统除受到重力和弹性恢复力等保守力以外，还受有阻尼力，有时对带有旋转部件的机械系统还有科氏惯性力引起的广义力陀螺力。 一般来说，机械系统通常包含保守力，阻尼力和陀螺力。,1. 线性化动力学方程的普遍形式,2. 机械系统的稳定性定理,定理一就是拉格朗日定理。 定理二表明阻尼力对系统的稳定性无实质性的影响。 定理三表明有时有可能利用陀螺力起镇定作用。 定理四表明若系统内存在完全阻尼，陀螺力不能起镇定作用。 上述定理称为开尔文-泰特-切塔耶夫定理，简称开尔文定理。,例3.17 利用开尔文定理讨论例3.15中滑块-单摆系统平衡位置的稳定性,
