第3章 非线性方程的数值求法

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1、第七章 非线性方程与方程组的数值解法,引言 在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程 f(x)=0 (5.1) 的求根问题，其中f(x)为非线性函数。 方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点 如果f(x)可以分解成 ,其中m为正整数且 ,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m1) 当且仅当,记笔记,当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的

2、方程,为n次代数方程,当n1时,方程显然是非线性的 一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法,记笔记,通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有 根，有几个根？ 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔 离开来，这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。 根的精确化。将根的初始近似值按某种方法 逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止,本章介绍方程的迭代解法，它既可以用来求解代数方程，也可以用来解超越方程，并且仅限于求方程的实根。 运用迭代法求解方程的根应解决以下两个问题： 确定

3、根的初值; 将进一步精确化到所需要的精度。,记笔记,7.1 二分法,二分法又称二分区间法,是求解方程(5.1)的近似根的一种常用的简单方法。 设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在 (a,b)内必有实根,称区间a,b为有根区间。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间a,b内有惟一实根x*。 二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。,7.1.1确定有根区间的方法,为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围， 称为圈定根

4、或根的隔离。 在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定 精度要求的初值。 对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数 相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无 解，并没有什么固定的圈根方法 求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与 x轴交点的横坐标。,由高等数学知识知, 设f (x)为区间a,b上的单值连续, 如果f (a)f (b)0 , 则a,b中至少有一个实根。如果f (x)在a,b上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。,记笔记,由此可大体确定根所在子区间，方法有： (1) 画图法 (2) 逐步搜索法,y=f(x),a,b,y,x,(1) 画图法,画出y = f

5、 (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。 也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式，1(x) 与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根 区间。 例如 xlogx-1= 0 可以改写为logx=1/x 画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交 点的横坐标位于区间2,3内,(1) 画图法,0,2,3,y,x,对于某些看不清根的函数，可以扩大一下曲线,(1) 画图法,记笔记,A,B,(2) 逐步搜索法,(2) 搜索法,对于给定的f (x),设有根区间为A,B,从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在A,B内取定节点:xi=x0ih

6、 (i=0,1,2,n),从左至右检查f (xi)的符号,如发现xi与端点x0的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间xi-1,xi。,例1 方程f(x)=x3-x-1=0 确定其有根区间 解：用试凑的方法，不难发现 f(0)0 在区间（0，2）内至少有一个实根 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的 搜索,列表如下,x,f(x),0 0.5 1.0 1.5 2, + +,可以看出，在1.0,1.5内必有一根,用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h 要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量 又不太大。 为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的 基础上采用对分法继续缩小该含根子

7、区间 二分法可以看作是搜索法的一种改进。, 取有根区间a,b之中点, 将它分为两半,分点 ,这样就可缩小有根区间,7.1.2 二分法求根过程,设方程f(x)=0在区间a,b内有根,二分法就是逐步收缩有根区间，最后得出所求的根。具体过程如下, 对压缩了的有根区间 施行同样的手法, 即取中点 ,将区间 再分为两半,然 后再确定有根区间 ,其长度是 的 二分之一 如此反复下去,若不出现 ,即可得出一 系列有根区间序列： 上述每个区间都是前一个区间的一半,因此 的长度,当k时趋于零,这些区间最终收敛于一点x* 即为 所求的根 。,每次二分后,取有根区间 的中点 作为根的近似值，得到一个近似根的序列 该

8、序列以根x*为极限 只要二分足够多次(即k足够大),便有 这里为给定精度,由于 ,则,当给定精度0后,要想 成立,只要 取k满足 即可，亦即当:,时,做到第k+1次二分,计算得到的 就是满足精度要求的近似根 。 在程序中通常用相邻的 与 的差的绝对值或 与 的差的绝对值是否小于来决定二分区间的次数。,二分法算法实现,例 求方程f(x)=x3-x-1=0 在区间1.0,1.5内 的一 个实根, 使误差不超过0.510-2。P215 例 证明方程 在区间2, 3内有一个根 , 使用二分法求误差不超过0.510-3 的根要二 分多少次？ 证明 令,且f(x)在2, 3上连续,故方程f(x)=0在2,

9、3内至少有一个根。又 当时 时， ,故f(x)在2, 3上是单调递增函数, 从而f(x)在2, 3上有且仅有一根。,给定误差限 0.510-3 ,使用二分法时,误差限为 只要取k满足,即可，亦即,所以需二分10次便可达到要求。 二分法的优点是不管有根区间 多大,总能求出满足精度要求的根,且对函数f(x)的要求不高,只要连续即可,计算亦简单;它的局限性是只能用于求函数的实根,不能用于求复根及重根,它的收敛速度与比值为 的等比级数相同。,7.2 不动点迭代法及其收敛性,对于一般的非线性方程,没有通常所说的求根公式求其精确解,需要设计近似求解方法,即迭代法。它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复

10、校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。,7.2.1 迭代法的基本思想 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于迭代的等价方程 (5.3) 其中 为x的连续函数,即如果数 使f(x)=0, 则也有 , 反之, 若 , 则也有 , 称 为迭代函数 任取一个初值 , 代入式 的右端, 得到,再将 代入式 的右端, 得到 ,依此类推, 得到一个数列 ， 其一般表示,式(5.4)称为求解非线性方程的简单迭代法。,(5.4),如果由迭代格式 产生的序列 收敛,即,则称迭代法收敛。,实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做下去, 对预先给定的精度要求，只要某个k满足,即可结束计

11、算并取,当然，迭代函数 的构造方法是多种多样的。,例4 用迭代法求方程 在x=1.5附近的一个根 解 将方程改写成如下两种等价形式,相应地可得到两个迭代公式,如果取初始值 1.5，用上述两个迭代公式分别迭代，计算结果,7.2.2 迭代法的几何意义,通常将方程f(x)=0化为与它同解的方程 的方法不止一种,有的收敛,有的不收敛,这取决于 的性态,方程 的求根问题在几何上就是确定曲线y= 与直线y=x的交点P*的横坐标(图7-2所示),(a),(b),图7-2 迭代法的几何意义,7.2.3 迭代法收敛的条件 对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式, 但迭代公式 并非总是收敛。那么,当迭代函数 满

12、足什么条件时，相应的迭代公式才收敛呢？即使迭代收敛时，我们也不可能迭代很多次，而是迭代有限次后就停止，这就需要估计迭代值的误差，以便适时终止迭代,定理1 ，2 设函数 在a,b上具有连续的一阶导 数, 且满足 （1）对所有的xa,b 有 a,b （2）存在 0 L 1 ,使所有的xa,b有 L 则方程 在a,b上的解 存在且唯一 ，对任意的 a ,b ，迭代过程 均收敛于 。并有误差估计式,由连续函数介值定理知, 必有 a, b, 使 所以有解存在, 即 假设有两个解 和 , , a, b，则 ， 由微分中值定理有 其中是介于x*和 之间的点 从而有a,b，进而有 由条件(2)有 1, 所以

13、- =0，即 = ，解唯一。,证: 构造函数 ,由条件对任意的xa, b a, b有,按迭代过程 ,有,由于L1,所以有 ,可见L越小,收敛越快,再证误差估计式,即 得证。,即 得证。,7.2.4 迭代法的算法框图,例5 对方程 ,构造收敛的迭代格式, 求其最小正根,计算过程保留4位小数。 解 容易判断1,2是方程的有根区间, 且在此区间 内 ,所以此方程在区间1,2有 且仅有一根。将原方程改写成以下两种等价形式。, ,即 不满足收敛条件。 ,即 此时迭代公式满足迭代收敛条件。,7.2.5 局部收敛性 当迭代函数较复杂时,通常只能设法使迭代过程在根的邻域(局部)收敛。 定理 3 设 在 的根

14、的邻域中有连续的一阶导数,且 则迭代过程 具有局部收敛性。 证:由于 ,存在充分小邻域: ,使成立 这里L为某个定数,根据微分中值定理 由于 ,又当 时 ,故有 由定理1知 对于任意的 都收敛,例6 设 ,要使迭代过程 局部收敛到 ,求 的取值范围。 解： 由在根 邻域具有局部收敛性时, 收敛 条件,所以,例7 已知方程 在 内有根 ,且在 上满足 ,利用 构造一个迭代函数 ,使 局部收敛于 。 解:由 可得,故 ,迭代公式,局部收敛,7.2.6 迭代法的收敛速度 一种迭代法具有实用价值，首先要求它是收敛的，其次还要求它收敛得比较快。 定义2.2 设迭代过程 收敛于 的根 ,记迭代误差 若存在常数p（p1）和c（c0），使,则称序列 是 p 阶收敛的,c称渐近误差常数。特别地,p=1