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1、第八章 能量法,材料力学,8-1 杆件的应变能 8-2 应变能普遍表达式(克拉贝隆原理) 8-3 卡氏定理 8-4 互等定理 8-5 虚功原理 8-6 单位力法 图乘法 8-7 超静定问题 力法 8-8 冲击应力,外力功:线弹性体系在外力系的作用下产生变形，每个外力 在与它相对应的位移上所作的功W。,有关的几个基本概念,能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失， 杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U在数量上与 外力所作的功W相等，即 UW,应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 被储存的能量即为应变能或变形能U。,能量法：利用应变能的概念，解决与弹性系统变形有关的问题
2、的方法。,8-1 杆件的应变能,基本变形杆的应变能,1、轴向拉伸或压缩,F,L,L,O,B,L,F,A,(外力功),基本变形杆的应变能,1、轴向拉伸或压缩,F,L,L,一般形式,(外力功),(内力功),2、圆截面杆的扭转,m,L,m,O,B,m,A,圆截面杆的应变能,一般形式,3、平面弯曲,纯弯曲梁的应变能：,一般形式,杆件产生基本变形时的应变能小结,轴向拉伸或压缩,圆截面杆的扭转,平面弯曲,内力沿杆的轴线无变化时的应变能,应变能公式在形式上是相同的！,内力沿杆的轴线有变化时的应变能,按微段进行分析可得,（拉压）,（扭转）,（平面弯曲的弯曲应变能）,（平面弯曲的剪切应变能）,应变能公式在形式上
3、是相同的！,杆件产生基本变形时的应变能小结,F,基本变形下应变能的一般表达式：,式中F广义力(力或力偶)； 广义位移(线位移或角位移) 且 F =C (力与位移成线性关系),表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。,体会：应变能可利用外力做功或内力做功来求解！,问题：复杂外载荷、复杂变形时应变能如何求解？,8-2 应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理),应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出,证明：,弹性体在 载荷作用下同时发生几种基本变形 (即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只 取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。,即外力增加的过程为：,
4、若材料是线弹性的，则对应的位移也以的比例增加，相应的位移为：,式中 ：01 (从0线性增加到1),如果增加d，则位移的相应增量为：,则外力可写成：,在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：,积分得,此式称为克拉贝隆原理。,特别注意点：, 广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶， 或者是一对力，或者是一对力偶。,在所有力共同作用下(因 与全部作用力有关)， 与广义力 相对应的沿着力的方向的广义位移。,力沿力矢方向的线位移 力偶力偶转向的角位移 一对力该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移 一对力偶该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移,力：F，位移：,力：m，位移：,示例,力：F，位移：,
5、力：m，位移：,关于应变能计算的几点讨论,以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变形能的计算。,应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。,3 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理 在应变能计算中不能使用。 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。例如：,4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关， 在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。,M(x) 只产生弯曲转角,FN (x) 只产生轴向线位移,T(x) 只产生扭转角,若不计FS 产生的应变能有：,【例8.2.1】计算图示吊车架的应变能，并应用它
6、求节点A的 竖直位移。已知E=200GPa,F =57.6kN。斜杆AB由两根 50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积 ，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢 的横截面面积 。设各杆自重可以不计。,解:,由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：,AC杆的内力为：,杆系的应变能：,设节点A的竖直位移为 ，则由 得：,如何分析？,【例8.2.2】 图示等截面悬臂梁，E, A, I已知。在自由端受集中力F 和集中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响。,解：(1)集中力F和集中力偶m同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。,梁自由端的转角为：
7、,(方向与m一致),自由端的垂直位移为：,梁的应变能,(2) 先作用F,加载时做功为：,再加力偶矩m，外力所作的功为：,梁的总应变能：,从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的 终态有关，而与加载次序无关。,(3) AB 梁的应变能也可通过截面上的内力做功来计算。,代入应变能的内力表达式：,弯矩方程：,还有其它方法求其应变能吗？,从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时的应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相互影
8、响下所做的功）。,应变能不可随意叠加！,当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，例如：,M(x) 只产生弯曲转角,FN (x) 只产生轴向线位移,T(x) 只产生扭转角,不计FS 产生的应变能！,组合变形杆的应变能,【例8.2.3】原为水平位置的杆系如图所示，试计算在荷载F作用下的应变能。两杆的弹性模量均为E，横截面面积均为A 。,解：首先分析力F 和位移 之间的关系。设两杆的轴力均为FN ，各杆的伸长量为,由几何关系，A点的位移为：,得,而由A点平衡关系得,物理关系,【例8.2.3】原为水平位置的杆系如图所示，试计算在荷载F作用下的应变能。,由于 角很小，有,得,即,(1) 因力F 引起的变形 可对 产生影响，形成F和 的非线性关系几何非线性。 若材料的应力与应变关系为非线性 物理(材料)非线性。,注意：,杆系的应变能为,(2) 几何非线性(力和其相应位移的关系为非线性)时，不能用 ，而只能用 求应变能。,Any question ?, Tea Time ,顶部增强的悬臂梁,（1）组合截面形心的位置 （2）B下端刚好接触D台面所需的力Fp,可视为T形截面梁, 课 后 作 业 ,8-1d 8-2c,
