建筑力学--变形及刚度创新.

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1、,第十九章 弹性杆件基本变形的计算及刚度设计,基础力学II,Basic Mechanics II,Chapter 16. Deformation Calculation and stiffness of Elastic Bar,1、杆的纵向总变形：,3、平均线应变：,2、线应变：单位长度的线变形。,一、拉压杆的变形及应变,拉压杆的变形(deformation) 弹性定律,拉压,4、x点处的纵向线应变：,6、x点处的横向线应变：,5、杆的横向变形：,拉压,L1,二、拉压杆的弹性定律,1、等内力拉压杆的弹性定律,2、变内力拉压杆的弹性定律,内力在n段中分别为常量时,“EA”称为杆的抗拉压刚度。,拉

2、压,3、单向应力状态下的弹性定律,4、泊松比（或横向变形系数）,拉压,三、是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。,东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图),拉压,拉压,1、怎样画小变形放大图？,变形图严格画法，图中弧线；,求各杆的变形量Li ，如图；,变形图近似画法，图中弧之切线。,例1

3、小变形放大图与位移的求法。,拉压,2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系,拉压,解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：,例2 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。,解：方法1：小变形放大图法 1）求钢索内力：以ABCD为对象,2) 钢索的应力和伸长分别为：,拉压,D,拉压,D,3）变形图如左图 , C点的垂直位移为：,拉压杆的弹性应变能 (strain energy),一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存 与杆内，这种能成为应变能（Strain

4、 Energy）用“U”表示。,二、 拉压杆的应变能计算： 不计能量损耗时，外力功等于应变能。,内力为分 段常量时,拉压,三、 拉压杆的比能 u： (strain-energy density) 单位体积内的应变能。,拉压,解：方法2：能量法： （外力功等于变形能） （1）求钢索内力：以ABD为对象：,拉压,例3 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。,（2) 钢索的应力为：,（3) C点位移为：,拉压,能量法：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方

5、法称为能量法。,拉压超静定问题及其处理方法,1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。,一、超静定问题及其处理方法,拉压,2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。,例4 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。,拉压,解：、平衡方程:,几何方程变形协调方程：,物理方程弹性定律：,补充方程：由几何方程和物理方程得。,解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:,拉压,平衡方程； 几何方程变形

6、协调方程； 物理方程弹性定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,拉压,3、超静定问题的方法步骤：,例5 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。,几何方程,物理方程及补充方程：,解：平衡方程:,拉压,P,P,y,4N1,N2,P,P,y,4N1,N2,拉压, 解平衡方程和补充方程，得:,求结构的许可载荷： 方法1:,角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2,所以在1=2 的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角

7、钢决定最大载荷。,求结构的许可载荷：,另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？ 若将木的面积变为25mm，又怎样？,结构的最大载荷永远由钢控制着。,拉压,方法2:,、几何方程,解：、平衡方程:,2、静不定问题存在装配应力。,二、装配应力预应力,1、静定问题无装配应力。,拉压,如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。,A,B,C,1,2,D,A1,3,、物理方程及补充方程：, 、解平衡方程和补充方程，得:,d,拉压,A,A1,1、静定问题无温度应力。,三 、装配温度,如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i ; T= T2 -T1

8、),拉压,C,A,B,D,1,2,3,2、静不定问题存在温度应力。,拉压,C,A,B,D,1,2,3,、几何方程,解：、平衡方程:,、物理方程：,拉压,C,A,B,D,1,2,3,、补充方程,解平衡方程和补充方程，得:,拉压,a,a,例6 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5 时被固定,杆的上下两段的面积分别 =cm2 ， =cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。 (线膨胀系数 =12.5 ； 弹性模量E=200GPa),、几何方程：,解：、平衡方程：,、物理方程,解平衡方程和补充方程，得:,、补充方程,、温度应力,拉压,扭转,35 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件,一、扭转时的变

9、形,由公式,知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为,扭转,二、单位扭转角 ：,或,三、刚度条件,或,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。, 称为许用单位扭转角。,扭转,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,扭转,例7长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,扭转,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m。, 由扭转刚度

10、条件校核刚度,扭转,40Nm,x,T,右端面转角为：,例8 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？,扭转,解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：,T,x,7.024, 4.21,(kNm),扭转,由刚度条件得：,T,x,7.024,4.21,(kNm),扭转,综上：,全轴选同一直径时,扭转, 轴上的绝对值最大的扭矩越

11、小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,T,x, 4.21,(kNm),2.814,扭转,36 等直圆杆的扭转超静定问题,解决扭转超静定问题的方法步骤：,平衡方程；,几何方程变形协调方程；,补充方程：由几何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,扭转,例9长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。,解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：,扭转,几何方程变形协调方程, 综

12、合物理方程与几何方程，得补充方程：, 由平衡方程和补充方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果。,扭转,37 等直圆杆在扭转时的应变能,一、 应变能与能密度,单元体微功：,应变比能：,扭转,二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算,1. 应力的计算,=,+,t,Q,t,T,Q,T,近似值：,P,Q,T,扭转,2. 弹簧丝的强度条件:,精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）,其中：,称为弹簧指数。,称为曲度系数。,扭转,3.位移的计算(能量法）,外力功：,变形能：,扭转,例10 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力

13、的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？,解：最大剪应力的近似值：,扭转,最大剪应力的精确值：,弹簧圈数：,（圈）,扭转,38 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,扭转,一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。,二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。,三、矩形杆横截面上的剪应力:,1. 剪应力分布如图： （角点、形心、长短边中点）

14、,扭转,2. 最大剪应力及单位扭转角,其中：,其中：It相当极惯性矩。,扭转,注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：,查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。,扭转,例11 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用 ，钢的G =80GPa ，=100M Pa，=1/m ，试校核 此杆的强度和刚度。,解：查表求 、,校核强度,扭转,校核刚度,综上,此杆满足强度和刚度要求。,弯 曲 变 形,材料力学,概述 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 求梁的挠度与转角的共轭梁法,按叠加原理求梁的挠度与转角,梁的刚度校核,弯 曲 变 形,梁内的弯曲应变能,简单超静定梁的求解方法,梁内的弯曲应变能,概 述,弯曲变形,研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的