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1、定积分应用,面积，弧长， 旋转体体积， 旋转曲面表面积,例1. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求连续曲线段,解:,的弧长.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.,解: 利用对称性
2、 ,故旋转体体积为,在第一象限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,旋转体的侧面积,设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .,取侧面积元素:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,侧面积元素,的线性主部 .,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S 的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,侧面积为,例5. 计算圆,x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .,解: 对曲线弧,应用公式得,当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求
3、,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示：,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,例6.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若选 y 为积分变量, 则,向量代数及解析几何,数量积，向量积，混合积， 平面，直线，曲线曲面，二次曲面,例1. 已知向量,的夹角,且,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,相交,求此直线方程 .,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,例2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点
4、 .,即,故所求直线方程为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入上式 , 得,由点法式得所求直线方程,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 将曲线L化为参数方程表示.在曲线L上求一点P，使得在该点P处的切线的方向向量与三个坐标轴正向的夹角都相等。,解:,根据方程引入参数t ,得所求为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于切向量与三个坐标轴的夹角都相等，则,设P点坐标,曲线在P点的切线的切向量,例4. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线,提示: 所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方
5、程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线,垂直相交的直线方程.,提示: 先求二直线交点 P.,化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点,最后利用两点式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦.,提示:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所求为,思路: 先求交点,例7. 求过点,且与两直线,都相交的直线 L.,提示:,的方程化为参数
6、方程,设 L 与它们的交点分别为,再写直线方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三点共线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.直线,绕 z 轴旋转一周, 求此旋转,转曲面的方程.,提示:,在 L 上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元微分法,一元微分与多元微分的相同，不同； 求偏导数，全微分（含隐函数的高阶偏导数），方向导数，梯度，散度； 极值（含条件极值），有界闭区域上连续函数的最大值，最小值； 几何应用（曲线的切线，法平面；曲面的切平面，法线）。,例1. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,解法1 利用
7、隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,2. 求函数 在椭球面 上点 处沿外
8、法线方向的方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,1. (1),在点,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M (1,1,1) 处切线的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,例6. 求曲线,在点,M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法平面方程,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2. 方程组两边对 x 求导, 得,曲线在点 M(1,2, 1) 处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,2, 1) 处的切向量,机动 目录 上页 下页 返回
9、结束,例7. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),例8,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形,面积最大.,点击图中任意点 动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分,二重积分，
10、三重积分的计算：换为二次积分，三次积分； 二重积分，三次积分不同坐标系下计算； 计算技巧：对称性应用，重心的应用，交换积分次序，先二后一； 记住,例1.计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示: 利用柱坐标,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算二重积分,在第一象限部分.,解: (1),两部分, 则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 提示:
11、,两部分,说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分换元法,二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5,证明,证:左端,= 右端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S
12、 .,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线、曲面积分,第一类曲线、曲面积分计算公式。对称性、重心的应用。 第二类曲线、曲面积分计算公式； 格林公式，高斯公式。注意条件，如不满足条件，可添辅助曲线或曲面； 平面上曲线积分与积分路径无关的四个等价 条件，会求原函数。,例1. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 例1中 改为,计算,解: 令, 则,圆的形心在原点, 故, 如何,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,机动 目录 上页 下
13、页 返回 结束,例3. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 把 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例4. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z =
14、2 之间部分的下侧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在D 内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 设,且都取正向, 问下列计算是否正确 ?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 设,提示:,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于 z = 0 及,z = h 之间部分的下侧.,所围区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用重心公式, 注意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
