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1、,第一章 集合与函数概念,1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念,1了解函数奇偶性的含义(难点) 2掌握判断函数奇偶性的方法(重点、难点) 3了解函数的奇偶性与函数图象的对称性之间的关系(易混点),1函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的_一个x，都有_，那么称函数yf(x)是偶函数 (2)奇函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的_一个x，都有_，那么称函数yf(x)是奇函数,任意,f(x)f(x),任意,f(x)f(x),2奇偶函数图象特点 (1)奇函数的图象关于_对称； (2)偶函数的图象关于_对称,原点,y轴,想一想 (1)判断函数的奇偶性为
2、什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？ 提示：由定义知，若x是定义域内的一个元素，x也一定是定义域内的一个元素，所以函数yf(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称的，这个函数一定不具有奇偶性例如：函数f(x)x3在R上是奇函数，但在2,1上既不是奇函数也不是偶函数,(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示：有如f(x)0，x(a，a)(a0) (3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)等于什么？ 提示：根据奇函数定义，有f(0)f(0)，故f(0)0. (4)常数函数一定
3、是偶函数吗？ 提示：不一定当定义域关于原点对称时才是，否则不是 (5)奇函数的图象一定过原点吗？ 提示：不一定，若0在定义域内，则图象一定过原点，否则不过原点,1函数的奇偶性与单调性的区别 (1)奇偶性是反映函数在定义域上的对称性，是相对于函数的整个定义域来说的，奇偶性是函数的“整体”性质 (2)单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势，此区间是定义域的子集，因此单调性是函数的“局部”性质 2奇函数、偶函数在x0处的定义 若奇函数f(x)在原点处有意义，则由奇函数定义 f(0)f(0)，可得f(0)0，偶函数则不一定,3奇函数、偶函数的图象特征 (1) (2)由奇、偶函数的图象特征可知：
4、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,函数奇偶性的判断,1函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数 2用定义判断函数奇偶性的步骤为： 求函数f(x)的定义域； 判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；,结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式； 求f(x)； 根据f(x)与f(x)之间的关系，判断函数 f(x)的奇偶性 3函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函
5、数,4还可以用如下性质判断函数的奇偶性： 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； 奇函数的和、差仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数,分段函数奇偶性的判断,解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称当x0， f(x)(x)22(x)3 x22x3(x22x3)f(x)； 当x0时，x0，f(x)f(0)0f(x)； 当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3 x22x3(x22x3)f(x) f(x)是R上的奇函数,1对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与x所满足的对应关系，如x0时，f(x)满足f(x)x22x
6、3，x0满足的不再是f(x)x22x3，而是f(x)x22x3. 2分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断,如图，给出了偶函数yf(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小,函数奇偶性的图象特征,方法二：由图象可知f(1)f(3) 又函数yf(x)是偶函数， f(1)f(1)，f(3)f(3)， f(1)f(3),【互动探究】 只将本例中的“偶”改为“奇”呢？ 解：方法一：函数f(x)是奇函数， 其图象关于原点对称，补全图象， 如图,由图象可知 f(1)f(3) 方法二：由图象可知 f(1)f(3) 又函数yf(x)是奇函数， f(1)f(1)，f(3)f(3)， f(1)f(
7、3)， f(1)f(3),奇、偶函数图象对称性的两大应用 应用一：巧作函数图象 奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称 根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇偶函数在某区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题,应用二：求函数最值、单调性问题 函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程,3若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是( ) A(，2) B(2，) C(2,2) D
8、(，2)(2，),解析：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以它的图象关于y轴对称又它在(，0上是减函数，所以可知该函数在(0，)上为增函数根据这些特征及f(2)0，可作出它的图象(如图)，观察图象可得，使f(x)0成立的x的取值范围是(，2)(2，),答案：D,易错误区系列(四) 判断函数的奇偶性时，因忽略定义域致误,【正解】函数f(x)的定义域为x|1x1，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数 【纠错心得】判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论,解：当x1时，f(x)x2，x1， f(x)(x)2x2f(x)； 当x1时，f(x)x2，x1， f(x)x2f(x) 当1x1时，f(x)0，1x1， f(x)0f(x) 对定义域内的每个x都有f(x)f(x)，因此f(x)是偶函数,
