解排列组合问题的十六种常用策略剖析.

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1、,解排列组合问题的十六种常用策略,三.特殊元素和特殊位置优先策略,四.相邻元素捆绑策略,五.不相邻问题插空策略,六.定序问题空位插入策略,七.重排问题求幂策略,八.多排问题直排策略,九.排列组合混合问题先选后排策略,十.小集团问题先整体后局部策略,十一.元素相同问题隔板策略,二.正难则反总体淘汰策略,十二.平均分组问题除法策略,一合理分类与准确分步策略,十三.构造模型策略,十四.实际操作穷举策略,十五. 分解与合成策略,十六.化归策略,解排列组合问题的十六种常用策略,一. 合理分类与分步策略,例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能 唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人 唱歌2人伴舞的节目

2、,有多少选派方法?,解：,10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。,本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果,解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。,练习题,例：3成人2小孩乘船游玩,A号船最多乘3人, B号船最多乘2人,C号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.,首先人数可以有以下

3、分配 A3,B2,C0 ； A3,B1,C1 ；A2,B2,C1 分情况讨论,A3,B2,C0 所有可能 减去小孩独乘的可能(只有一种就是两个小孩都在B上) 种乘法,A2,B2,C1 首先A、B、C上肯定都有一个大人，所以有 种乘法,A3,B1,C1 BC上肯定都是一个大人 ，剩下一个大人和两个小孩乘A没得选： 种乘法,共计：9+6+12=27种乘座方法。,二.正难则反总体淘汰策略,例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？,解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。,再淘汰和小于10的偶数共

4、_,符合条件的取法共有_,9,+,有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.,1. 某班里有43位同学,从中任抽3人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?,练习题,2.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_,三.特殊元素和特殊位置优先策略,例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.,解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置,先排末位共有_,然后排首位共有_,最后排其它位置共有_,7种不同的花种在

5、排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？,练习题,四.相邻元素捆绑策略,例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法.,解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 要注意合并元素内部也必须排列.,五.不相邻问题插空策略,例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺

6、序有多少种？,解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 种，,元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端,某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）,练习题,某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ）,六.定序问题空位插入策略,例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法,解:,（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有 种方法，其余的三个 位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法,1,（插入法)

7、先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法,练习题,10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？,4*5*6*7,七.重排问题求幂策略,例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法,解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.,7,某8层大楼一楼电梯上来8名乘客,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 （ ）,练习题,八.多排问题直排策略,例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法,解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.,一般地,元素分成多排

8、的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.,九.排列组合混合问题先选后排策略,例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.,解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 有_种方法.再把5个元素(包含一个复合 元素)装入4个不同的盒内有_种方法.,根据分步计数原理装球的方法共有_,解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似 吗?,练习题,一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有_种,十.小集团问题先整体后局部策略,例9.用1,2

9、,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹1,这两个奇数之 间,这样的五位数有多少个？,解：把,当作一个小集团与排队 共有_种排法，再排小集团内部共有 _种排法，由分步计数原理共有 _种排法.,小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。,.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画, 幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 端，那么共有陈列方式的种数为_,2. 5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女 生也相邻的排法有_种,十一.元素相同问题隔板策略,例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？,解：

10、因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板， 可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有_种分法。,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,练习题,10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个，有多少装法？,十二.平均分组问题除法策略,例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？,解: 分三步取书得 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记

11、为(AB,CD,EF),则 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而 这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 有 种分法。,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。,1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 个队, 有多少分法？,2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_,十三.构造模型策略,例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,

12、9的 九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？,解：把此问题当作一个排队模型在6盏 亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 有_ 种,一些不易理解的排列组合题如果能转化为 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队 模型，装盒模型等，可使问题直观解决,练习题,某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？,十四.实际操作穷举策略,例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,

13、. 有多少投法,解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应，,十四.实际操作穷举策略,例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,. 有多少投法,解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应，,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也 只有1种装法,由分步计数原理有2 种,对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状 图会收到意想不到的结果,练习题,同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然

14、后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？,(9),1A 2B 3C 4D,1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D 4A 4B 4C 4D,1B 2A 3D 4C,1B 2C 3D 4A,1B 2D 3A 4C,十五. 分解与合成策略,例16. 30030能被多少个不同的偶数整除,分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113依题 意可知偶因数必先取2,再从其余5个 因数中任取若干个组成乘积，所有 的偶因数为：,例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线,解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 面体共有

15、_,3,358=174,分解与合成策略是排列组合问题的一种最 基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几 个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的 结构,用分类计数原理和分步计数原理将问 题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复 杂的问题都要用到这种解题策略,十六.化归策略,例18. 25人排成55方队,现从中选3人,要 求3人不在同一行也不在同一列,不同的 选法有多少种？,解：,将这个问题退化成9人排成33方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，,从55方队中选取3行3列有_选法 所以从55方队选不在同一行也不在同 一列的3人有_选法。,处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题,如此继续下去.从33方队中选3人的方法 有_种。再从55方队选出33 方队便可解决问题,某城市的街区由12个全等的矩形区组成 其中实线表示马路，从A走到B的最短路 径有