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1、22.1.2 二次函数 的图象和性质,复习,一般地,形如,的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.,y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a0),二次函数:,在下列函数中，哪些是二次函数？,(1)y=3x+5; (2)y=(x+3)2-5x; (3)y=(2x-1)2-4x2.,解:(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,y=x2,用描点法画二次函数 y = x2 的图象,列表时应注意 什么问题？,描点法,列表,描点,连线,描点时应以哪些数值作为点的坐标？,连线时应注意什么问题？,二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类
2、似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，,二次函数y = x 2 的图象是轴对称图形，,一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a0） 的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c,抛物线 与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 的顶点,它是抛物线 的最低点,实际上, 二次函数的图象都是抛物线，,对称轴是y轴,这条抛物线是轴对称 图形吗？如果是， 对称轴是什么？,抛物线与对称轴 有交点吗？,例题与练习,例1.在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图象,解: (1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,8,2,0.5
3、,0,0.5,2,4.5,8,4.5,8,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,4.5,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?,观察,共同点:,不同点:,开口都向上;,顶点是原点而且是抛物线 的最低点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a|越大，,在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。,在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。,抛物线的开口越小。,解: (1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,-,-2.25,-,-0.25,-0.25,-,-2.25,-,-2,-2,-,
4、-,-,-,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-4. 5,-4. 5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,观察,函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?,共同点:,开口都向下;,不同点:,顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a| 越大，,在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。,在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。,抛物线的开口越小,对比抛物线，y=x2和y=x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛
5、物线y=ax2和y=ax2呢？,在同一坐标系内,抛物线 与 抛物线 是关于x轴对称的.,1、根据左边已画好的函数图象填空： （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧， y随着x的增大而增大；在 侧， y随着x的增大而减小，当x= 时， 函数y的值最小，最小值是 ,抛物 线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。,（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的 左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ， 当x 0时，y0.,（0，0）,y轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,课堂练习,向上,向下,
6、(0 ,0),(0 ,0),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而减小。,当x0时, y随着x的增大而增大。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,抛物线y=ax2 (a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,归纳小结,当x0时， y随着x的增大而增大。,当x0时， y随着x的增大而减小。,抛物线的开口就越小.,|a|越小,抛物线的开口就越大.,课堂练习,1、函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;,2、函数y=3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 _,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),3、函数y= x2的图象的开口 ,对称轴 是 ,顶点是
7、;,4、函数y= 0.2x2的图象的开口 , 对称轴是_,顶点是 ;,耐心填一填,;,向上,y轴,(0,0),向下,y轴,(0,0),5、抛物线y=2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧， y随着x的增大而增大；在 侧， y随着x的增大而减小，当x= 时， 函数y的值最小，最小值是 ,抛物 线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。,（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外）， 当 x 0 时，y随着x的 ； 当 x 0 时，y随着x的 ， 当 x = 0 时，函数y的值最大，最大值是 ， 当 x 0 时，y0.,（0，0）,y轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0
8、,6、若抛物线 上点P的坐标为 (2，a)，则抛物线上与P点对称的点 P的坐标为 。,课堂练习,7、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是 ( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. (D) 对任意实数x,都有y0.,课堂练习,8、若m0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、,y1、 y2、y3的大小关系是 。,(m+3，y3)在抛物线 上，则,课堂练习,9、已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式,m2+m,解: 依题意有:,m+10 ,m2+m=2 ,解得:m1=2, m2=1,由得:m1, m=1,此时,二次函数为: y=2x2.,课堂练习,10、已知二次函数 的图象经 过点(-2，-3)。 (1)求a的值，并写出函数解析式； (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图象的位置；,课堂练习,11、若抛物线 的开口 向下，求n的值。,课堂练习,
