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1、微分方程模型 一、微分方程与差分方程的稳定性理论一、微分方程与差分方程的稳定性理论 二、 捕食被捕食模型二、 捕食被捕食模型 与 三、蛛网模型 与 三、蛛网模型 1.1 一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性 ) 1 ()(xFx =一阶（自治）微分方程一阶（自治）微分方程 F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡点平衡点 0 0 0 xxx xx = = 设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值某邻域的任一初值x1出发，出发， 都有都有 10 lim ( ,), t x t xx = 称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点
2、 x0 稳定性的判别方法稳定性的判别方法: )2()( 00 xxxFx=(1)的近似线性方程的近似线性方程 )1 (),2(0)( 00 对稳定xxF 线性常系数线性常系数 微分方程组微分方程组 ( ) ( ) x taxby y tcxdy =+ =+ 的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性 平衡点平衡点P0(x0,y0)=(0,0) 代数方程代数方程 0 0 axby cxdy += += 的根的根 若从若从P0某邻域的任一初值某邻域的任一初值P1出发，都有出发，都有 10 lim ( ,), t x t Px = 称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点 10 lim ( ,
3、), t y t Py = 记系数矩阵记系数矩阵 = dc ba A特征方程特征方程0)det(= IA = += =+ Aq dap qp det )( 0 2 特征根特征根 2/ )4( 2 2 , 1 qpp= 线性常系数线性常系数 微分方程组微分方程组 ( ) ( ) x taxby y tcxdy =+ =+ 的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性 特征根特征根 2/ )4( 2 2 , 1 qpp=平衡点平衡点 P0(0,0) 微分方程一般解形式微分方程一般解形式 tt ecec 21 21 + 平衡点平衡点 P0(0,0)稳定稳定 平衡点平衡点 P0(0,0)不稳定不稳定 1,2为
4、负数或有负实部为负数或有负实部 p 0 且且 q 0 p 0 平衡点平衡点 P0不稳定不稳定 p yx， 00 x y 0 y0 x0 P0 f g )( kk xfy =)( 1kk yhx= + )( 1+ = kk xgy 00, yyxx kk gf KK=xxyy kk )0()( 001 = + yyxx kk )( 001 xxxx kk = + )()( 0101 xxxx k k = + 1 P0稳定稳定 P0不稳定不稳定 0 xxk k x f K= g K=/1 )/ 1( 1 gf KK 方程模型与蛛网模型的直观方程模型与蛛网模型的直观 结果一致结果一致 )( 00 x
5、xyy kk = 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度 )( 001 yyxx kk = + 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量 考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 结果解释结果解释 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格 1经济稳定经济稳定 结果解释结果解释 经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法 1. 使使 尽量小，如尽量小，如
6、 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变 2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 结果解释结果解释 需求曲线变为水平需求曲线变为水平 供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直 2/ )( 0101 yyyxx kkk += + 模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。 )( 00 xxyy kk = 生产者管理水平提高生产者管理水平提高 设供应函数为设供应函数为 需求函数不变需求函数不变 , 2 , 1
7、,)1 (22 012 =+=+ + kxxxx kkk 二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件 )( 1kk yhx= + + = + 2 1 1 kk k yy hx 012 )1 (22xxxx kkk +=+ + 新方程通解为新方程通解为 1122 kk k ycc=+ (c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程的根的根02 2 =+ 模型的推广模型的推广 * 21 ,20 kkkkk xyxyyy + =+=令则 目的目的: 将原方程的平衡点的稳定性问题转化为 新方程平衡点的稳定性问题 * ( )x kx= * 0y = 4 8)( 2 2 , 1 = 平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:1 2,1 2平衡点稳定条件平衡点稳定条件 与原条件与原条件相比，参数的取值范围更加广泛相比，参数的取值范围更加广泛1 2 2 , 1 = 稳定性判别稳定性判别
