信号与系统第三章：傅里叶变换

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1、1,傅里叶变换,上海大学机自学院,2,上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾,上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析法”。该方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容，可概括为如下几个方面： 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲

2、击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分的重要性质。 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的方法和步骤。,3,第三章主要内容,3.1 信号分解为正交函数 (一般了解） 3.2 傅里叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） 3.5 傅里叶变换的性质 3.6 卷积定理 3.7 周期信号的傅里叶变换 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理,4,时域分析,时域分析的要点是，以冲激信号或单位信号为基本信号，任意

3、输入信号可分解为一系列冲激函数或单位函数；且， 对于连续时间系统 对于离散时间系统 在本章的分析中，所指的信号和系统均为连续时间信号和连续时间系统。,5,变换域,变换域一般指：频域、S域和Z域；也就是通过各种数学变换，将时域的信号与系统变换到频域、S域和Z域中进行分析和观察，这样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的复杂计算，更主要的是：可以观察到信号与系统在时域分析中所无法看到的一些奇妙的现象和特性，从而可以多角度地对信号与系统有更深刻的认识和更全面的把握。 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。,6,由

4、于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和。,本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号,任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数积分。,7,信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的 概念相似。,矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。,3.1 信号分解为正交函数,8,矢量正交集,矢量正交的定义 矢量 和 内积为零，即 矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。 如三维空间中， 所组成的集合就是矢量正交集，

5、且完备。 矢量 表示为,矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。,9,（2）正交函数集 在区间 上的n个函数（非零） ,其中任意两个均满足 为常数，则称函数集 为区间 内的正交函数集。,（1）正交函数 在 区间上定义的非零实函数 和 若满足条件 则函数 与 为在区间 的正交函数。,正交函数集,10,完备正交函数集,11,由积分可知,三角函数集,12,复指数函数集,13,信号分解为正交函数,14,根据最小均方误差原则，可推出：,式中：,15,将周期信号,在区间,内展开成完,备正交信号空间中的无穷级数。

6、如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅 里叶级数”，统称为傅里叶级数。,3.2 傅里叶级数,16,设有一个周期信号 它的周期是 ，角频率 它可分解为：,一、周期信号的分解,其中 称为傅里叶系数， 。,17,傅里叶系数如何求得,式中：,18,由上式可见， 是 的偶函数 ， 是 的奇函数，,19,则有,20,一般而言 称为 次谐波 ， 是 次谐波的振幅， 是其初相角。,可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为 直 流分量 ，一次谐波或基波 (它 的角 频率与原周期信号相同)，二次谐波 ， 以此类推，三次，四次

7、等谐波。,21,狄里赫利条件,（1）在一周期内，间断点的数目有限；,（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；,（3）在一周期内，,电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当 f(t)满足狄里赫利条件时， 才存在。,22,结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。 一般而言 称为 次谐波 ， 是 次谐波的振幅， 是其初相角。,23,解：,例3.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数,24,25,26,它仅含有一、三、五、七 等奇次谐波分量。,如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：,27,28,（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。,（2）所取项数愈多，在

8、间断点附近，尖峰愈靠近间断点。,（3）即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有 的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。 (吉布斯现象）,29,若给定的 有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而使计算较为简便。,（1） 为偶函数,则有 ，波形对称于纵坐标。,二、奇偶函数的傅里叶系数,30,从而有,31,32,进而有,这时有,33,实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。,其中,*一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，而且与原点的选择有关。,34,此时傅里叶级数展开式中将只含奇次谐波分量，而不 含有偶次谐波分量。即,（3） 为奇谐函数,35,例3.2-2,例

9、：周期矩形信号如图所示，若重复频率=5 KHz，脉宽为20微妙，幅度=10 V，求傅立叶级数展开的直流分量大小，以及基波、二次谐波和三次谐波的有效值。,36,解：因为为偶函数，所以 ，故只有直流分量和余弦分量，并有 ，利用公式求解如下： 直流分量： 所以直流分量为 n次谐波系数：,其有效值为：,37,将 代入上式，得基波有效值为： 同理当 和 时，得二次和三次谐波的有效值分别为：,38,讨论 关于n的奇偶性,是n的偶函数。,是n的奇函数。,39,将上式第三项中的 用 代换，并考虑到 是 的偶函数，即 ； 是 的奇函数, 则上式可写为 :,三、傅里叶级数的指数形式,40,如将上式中的 写成 （

10、）， 则上式可以写成:,41,令复数量 ，称其为复傅里叶 系数，简称傅里叶系数。其模为 ，相角为 ， 则得傅里叶级数的指数形式为,42,复傅里叶系数,43,44,与 互为共轭。,与 的关系。,45,三角形式傅里叶级数,46,指数形式傅里叶级数,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函 数或虚指数函数之和。,47,复傅里叶系数 与 ， ， 的关系,48,3.3 周期信号的频谱,为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率 分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示 方法。,一、 频谱图的概念,已知周期信号f(t)可用傅里叶级数来表示。,或,49,如果将 ， 的关系绘成下面的线图

11、，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。,如果将 ， 的关系绘成下面的线图，同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。,50,频谱图,幅度频谱,相位频谱,离散谱，谱线,51,周期信号采用指数形式展开后的频谱, 因Fn一般为复数,称为复数频谱.,图3-2 周期信号的复数频谱,52,例 3.3-1,试画出f(t)的振幅谱和相位谱。,解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据,可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期T=2s，=2、3、 6 分别为二、三、六

12、次谐波频率。且有,53,其余,54,图 3.3-1 (a)振幅谱； (b) 相位谱,55,图 3.3-2 信号的双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱,56,二、 周期矩形脉冲的频谱,设有一幅度为E，脉冲宽度为 的周期性矩形脉 冲，其周期为 ，求其复傅里叶系数。,图 3.3-3 周期矩形脉冲,57,58,-取样函数,1.它是偶函数。,2. 当 时， 。,3.当 时，函数值为0。,它是无限拖尾的衰减振荡。,59,该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：,图3.3-4 周期矩形脉冲的频谱（T=4）,60,第一个零点时谱线的序号：,零点的位置：,相邻谱线的间隔：,第一个零点的位置：,61,

13、由上图 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率w1的整数倍频率上，即含有w1的各次谐波分量，而决不含有非w1的谐波分量。 第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nw1的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nw1的增大而逐渐减小。 当nw1时，|Fn|0。,62,前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。

14、为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。,令,一、傅里叶变换,3.4非周期信号的频谱,称 为频谱密度函数。,63,当周期T1 趋近于无限大时，w1 趋近于无穷小，取其 为 ，而 将趋近于 ，nw1 是变量，当 时，它是离散值，当w1 趋近于无限小时，它 就成为连续变量，取为 ，求和符号改为积分。,如何求频谱密度函数？,由式 可得,64,成为,（1）式称为函数 的傅里叶变换 。,（2）式称为函数 的傅里叶逆变换。,称为 的频谱密度函数或频谱函数. 称为 的原函数。,简记为,65,与周期信号的傅里叶级数相类似，在f(t)是实函数时， F()、()与R()、 X()相互之间存在下列关系：,66,在f(t)是实函数时： (1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(j)为的实函数， 且为的偶函数。 (2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F()为的虚函数，且为的奇函数。,结论,67,例3.4-1 下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为 ，幅度为 。求其频谱函