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1、1,第 二 章 模糊集合,2.0 引论 一、模糊集合产生的原因 1、现实世界中存在大量的模糊现象和模糊概念。如“青年人”、“高个子”等。 2、研究模糊性具有重要的现实意义。如“做化学实验”、“炒莱”等。 3、信息科学和人工智能的发展促进了模糊数学的产生。如“电视图像的调节”等。 人脑思维活动的特点之一：就是能对模糊事物进行识别和判断。 如：要找一个人，只知道他是“高个子，大胡子”，无须知道他的身高究竟具体是多少米， 以及脸上有多少根胡子、平均有多粗。 二、模糊性与随机性的区别 1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合给出的概念不明确。 2、随机性：事物的概念本身是明确的，只是发生的条
2、件不充分，使条件与事物的发生无因果 关系，从而事物的发生与否表现出不确定性，但有统计规律。 三、起源 1965年，(美)著名控制论教授扎德( L.A.Zadeh )发表论文“模糊数学( fuzzy )”。 给定量研究客观世界中的模糊性开辟了新途径。,2,2.1 模糊集合的定义 一、普通集合论知识：确定概念普通集合特征函数 1、集合的概念：符合某个确定概念的对象的全体。常用字母 A、B、C 等表示。 因此，确定概念可用集合来表示，集合是确定概念的外延。 2、论域：某议题范围内被讨论的全部对象。常用字母 U、V、X、Y 等表示。 论域中的每个对象叫元素。常用字母 a、b、c、d 等表示。 如：中南
3、大学的学生就可以成为一个论域。 有限论域：元素个数为有限个或可列个的论域。 无限论域：元素个数为无限个的论域。 3、论域中的子集：论域U中某一部分元素组成的全体叫论域U中的一个集合。 用 A、B、 等表示。 如论域 U =中南大学的学生，则 A = 中南大学的男学生就是论域 U 中的一个集合。 二、模糊子集的定义：模糊概念模糊集合隶属函数 给定论域 U ，称A是论域 U 上的模糊子集( 记为 )： 如果对xU，都有一个确定的数 A(x)0,1与之对应。 此时，映射 A(x)： U 0,1 x A(x) A(x)称为 A 的隶属函数； 数A(x)称为论域U中的元素 x 对模糊子集 A 的隶属度，
4、表示 x 属于 A 的程度。 特例：当A(x)=0、1时，模糊子集 蜕化为普通集合 A ； 的隶属函数 A(x) 蜕化为 A 特征函数 CA(x)，即,3,例2-1 组成一个100人的评比小组，对五种商品X1,X2,X3,X4,X5进行评比。结果是： 认为商品X1“质量好”的有81人，占81%=0.81；认为商品X2“质量好”的有53人，占53%=0.53； 认为商品X3“质量好”的有100人，占100%=1；认为商品X4“质量好”的有0人，占0%=0； 认为商品X5“质量好”的有24人，占24%=0.24。 对论域 U = X1,X2,X3,X4,X5(有限论域)中的每一个元素均规定了一个隶
5、属度： X10.81，X2 0.53，X3 0.1，X4 0 ，X5 0.24 它们确定了 U 中的一个模糊子集 A，表示商品“质量好”这一模糊概念。,例2-2 考查某商店商品销售利润的经济效益 论域 U = 0 ，k (无限论域)表示该商品销售利润额的范围， 则表示商品销售利润的“经济效益好”这一模糊概念的模糊子集，用以下隶属函数表示：,其中，n为同期商品销售额，m为销售利润效益最好时刻的利润率。,4,例2-3 取年龄为论域 U=0,100，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”， 表示它们的两模糊子集记为Y与O，其隶属函数定义为：,若你的年龄 x = 30 岁，则,5,2.2 模糊子集的运算：
6、 仍记为 A (除非特别申明) 1.关系运算：对论域 U 模糊空集 ：对xU，均有 (x)=0 模糊全集 E ：对xU，均有 E(x)=1 模糊幂集 (U) ：U 中的全体模糊子集(含普通子集)构成的普通集合(其元素是模糊子集)。 A = B ：对xU，均有 A(x) = B(x) A B ：对xU，均有 A(x) B(x) 2.并、交、余运算：对论域 U 并(AB)：设 A ,B (U),对xU，则 AB 是由下列隶属函数确定的模糊子集 AB(x) = MaxA(x),B(x)= A(x)B(x） 交(AB)：设 A ,B (U),对xU，则 AB 是由下列隶属函数确定的模糊子集 AB(x)
7、 = MinA(x),B(x)= A(x)B(x） 余(Ac)：设 A (U),对xU，则 Ac 是由下列隶属函数确定的模糊子集 Ac(x) = 1 - A(x) 例2-4 商品论域 U = X1,X2,X3,X4,X5，表示 “商品质量好”这个模糊概念的模糊子集为：A = 0.81,0.53,1,0,0.24 ， “商品质量差”这个模糊概念的模糊子集为：B = 0.05,0.21,0,0.36,0.57 。 则：表示“商品质量或好或差”这个模糊概念的模糊子集为： AB = 0.810.05,0.530.21,10,00.36,0.240.57=0.81,0.53,1,0.36,0.57； 表
8、示“商品质量又好又差”这个模糊概念的模糊子集为： AB = 0.810.05,0.530.21,10,00.36,0.240.57=0.05,0.21,0,0,0.24； 表示“商品质量不好”这个模糊概念的模糊子集为： Ac = 1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24=0.19,0.47,0,1,0.76；,6,例2-5 年龄论域 U=0,100，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”,对应的模糊子集Y与O,隶属函数为,则：表示“又老又年轻”这个模糊概念的模糊子集为OY：隶属函数为,7,3.运算性质： 对偶律：( AB )c = Ac Bc ；( AB )c = Ac Bc 幂等
9、律： AA = A ；AA = A 交换律： AB = BA ；AB = BA 结合律：( AB )C = A( BC ) ；( AB )C = A( BC ) 分配律：( AB )C =( AC )( BC ) ；( AB )C=( AC )( BC ) 吸收律：( AB )A = A ；( AB )A = A 两极律： A = A ；A = ；AE = E ；AE = A 还原律：( Ac )c = A 不满足互补律：AAc E ， AAc 伪补律： AAc(x) = A(x)Ac(x) ； AAc(x) = A(x)Ac(x) 例2-6 设有模糊子集为：A = 0.81,0.53,1,0
10、,0.24 则：AAc = 0.81,0.53,1,1,0.76 E ，并且其隶属度均大于1/2 AAc = 0.19,0.47,0,0,0.24 ，并且其隶属度均小于1/2,8,4.几种常用的模糊算子：须同时满足 对偶律、交换律、结合律、两极律 普通实数乘法与最大算子 M(,)： AB(x) = A(x)B(x)；AB(x) = A(x) B(x) 普通实数乘法与有界和算子 M(,) ： AB(x) = A(x)B(x)；AB(x) = A(x) B(x) 其中有界和 ：对a,b0,1,有 ab = mina+b,1 普通实数乘法与概率和算子 M(,) ： AB(x) = A(x)B(x)；
11、AB(x) = A(x) B(x) 其中概率和：对a,b0,1,有 ab = a+b ab 有界积与有界和算子 M(,) ： AB(x) = A(x)B(x)；AB(x) = A(x) B(x) 其中有界积：对a,b0,1,有 ab = max0,a+b1 例2-7 设有模糊子集为：A = 0.81,0.53,1,0,0.24 ， B = 0.05,0.21,0,0.36,0.57 。 采用算子 M(,)，得： 则： AB = 0.810.05，0.530.21，10，00.36，0.240.57 = 0.86，0.74，1，0.36，0.81 AB = 0.810.05，0.530.21，1
12、0，00.36，0.240.57 = 0，0，0，0，0,9,2.4 模糊集合与普通集合的关系：模糊集合是普通集合的推广 1.模糊子集 A 的 水平截集 A 给定模糊子集 A(U)，对0,1， 称普通集合 A =x|xU,且 A(x)为模糊子集 A 的 水平截集。 即：A 由 U 中哪些隶属度大于或等于 的元素组成，其特征函数为：,例2-8 五种商品X1,X2,X3,X4,X5，“质量好”的模糊子集 A = ( 0.81，0.53，1，0 ，0.24 )， 进一步研究：有50%以上的人认为“质量好” ，称为“合格” ，则“合格”商品的集合为 A0.5 = X1,X2,X3 ， = 0.5 有8
13、0%以上的人认为“质量好” ，称为“优良” ，则“优良”商品的集合为 A0.8 = X1,X3 ， = 0.8 A0.5与 A0.8 均是A按一定水平 确定的普通子集( 截集 ) 。,10,2. 水平截集 A 的性质 ( AB ) = AB ； ( AB ) = AB ； 设 1,2 0,1，且 1 2 ，则 A1 A2,3. 模糊子集 A 的核 A1、支撑架 SuppA、边界 SuppA - A1 A 的核 A1 = x|A(x)1； A 的支撑架 SuppA = x|A(x)0 ； A 的边界 SuppA - A1 = x|0A(x)1; A0 = x|A(x)0 = U,例2-9 五种商
14、品论域 U = X1,X2,X3,X4,X5， 模糊子集 A = ( 0.81，0.53，1，0 ，0.24 )，则 A 的核 A1 = X3； A 的支撑架 SuppA = X1,X2,X3,X5； A 的边界 SuppA - A1 = X1,X2,X5; A0 = X1,X2,X3,X4,X5 = U,11,4. 由 A 生成的模糊子集 设 A(X)，其 水平截集为 A ，,分解定理：,或用隶属函数,结论：任何模糊数学问题，均可通过分解定理用经典集合论方法处理； 从概念上讲，模糊数学是经典数学的推广和发展；,12,2.5 实数域上的模糊集 论域 X = R = (-,+)上的模糊子集A的隶属函数称为模糊分布。 1.戒上型：, 降半矩形分布, 降半分布, 降半正态分布, 降半柯西分布, 降半梯形分布,13,2.戒下型：, 升半矩形分布, 升半分布, 升半正态分布, 升半柯西分布, 升半梯形分布,14,3.对称型：, 矩形分布, 尖分布, 正态分布, 柯西分布, 梯形分布,15,由扩张原理有,解：U = 0,2,4,6,8,10 ， V = a,b,c,d,
