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1、例5 如图4,由点S 引三条射线SA、SB、SC, 已知 ASB =1,BSC = 2,ASC =(都是锐 角 ) , 且cos 1cos2 = cos,求证平面ASB平 面BSC. 证明:取SA上一点 P ( 异于S) ,作PQSB 于Q, QRSC于R,连PR. 在RtPSQ中,cos1= SQ PS; 在RtSQR中,cos2= SR SQ. 所以cos 1cos2 = SQ PS SR SQ = SR SP. 在 PSR中,cos= SP 2 + SR 2 - PR 2 2SPSR . 再由cos 1cos2 =cos,得 SP 2 = SR 2 + PR 2 , 所以SCPR,所以S
2、C面PRQ. 所以PQSC,又PQSB,可得PQ面 SBC.而PQ 面ASB,所以平面ASB平面 BSC. 河北省吴桥县吴桥中学(061800) 祁正红 点在平面内的射影 点在平面内射影的位置,是立体几何的基 本问题,也是高考的必考内容,许多有关角和距 离的问题都与确定点在平面内射影有关.下面 是点在平面内射影的重要结论及其应用. 一、 结论 1.如图1,过平面 内的 EAF顶点A的 斜线AP与这个角的两 条边AE、AF所成角相 等,则斜线AP上的任 意点在平面 内的射 影在 EAF的角平分线所在直线上. 2. P为 ABC所在平面外的一点, O是P 在平面内的射影. (1)若P到 ABC的三
3、个顶点的距离相 等,则O是 ABC的外心. (2)若PA、PB、PC与平面 所成的角相 等,则O是 ABC的外心. (3)若P到直线AB, AC, BC的距离相等, 则O是 ABC的内心. (4)若平面PAB, PBC, PCA与平面所成 的二面角大小相等,则O是 ABC的内心. (5)若直线PA与BC, PC与AB互相垂直, 则O是 ABC的垂心. (6)若直线PA, PB, PC两两互相垂直,则 O是 ABC的垂心. (7)若平面PAB,平面PBC,平面PCA两两 互相垂直,则O是 ABC的垂心. 二、 结论的应用 例1 如图2,ABC 的边长为5,12,13, P到三 顶点的距离都是7,
4、则点P 到平面ABC的距离为多 少? 解:因为PA = PB= PC,所以P在平面内的射影是 ABC的外心. 又因为 ABC的边长为5,12,13,所以 ABC是直角三角形,直角三角形的外心是斜 边AC的中点O,所以点P到平面ABC的距离是 线段PO的长度. 3 数理化学习(高中版) 在RtPAO中, PO =PA 2 - AO 2 = 3 2 3. 例2 如图3,正方体 ABCDA1B1C1D1中,若 E, F分别为棱AB, C1D1的 中点,求直线A1B1与平面 A1ECF所成的角的余弦 值. 解:由于在正方体中, 且E, F分别是棱AB, CD的中点,所以得到直线 A1B1与A1F所成角
5、和直线A1B1与A1E所成角相 等.运用上面的结论,就可以得到直线A1B1在 平面A1ECF的射影是 EA1F的角平分线.由 于四边形A1ECF是菱形,所以 EA1F的角平 分线就是A1C所在直线. 所以直线A1B1与平面A1ECF所成的角是 B1A1C. 在RtA1B1C中,可求得cosB1A1C= 3 3 . 例3 如图4,四面 体SABC中, SA、SB、SC 两两垂直,SBA =45, SBC =60,M为AB的 中点.求 : ( 1 )BC 与平面 SAB所成的角 ; ( 2 ) SC 与 平面ABC所成角的正切 值. 解 : ( 1)因为SCSA, SCSB, SASB = S,所
6、以SC平面ASB,所以 SBC就是BC 与平面SAB所成的角,即 SBC =60. (2)连结MC,作SHMC于H,可知H是 ABC的垂心,所以 SCM就是SC与平面 ABC所成的角. 设SB = a,在RtSBM中, SM= 2 2 a, 在RtSBC中, SC =3a, 在RtSCM中,tanSCM= SM SC = 6 6 . 甘肃省临泽一中(734200) 张 波 线线角与线面角的求解方法 一、 异面直线所成的角 异面直线所成的角一般是按定义作出异面 直线所成的角,然后通过解三角形来求角.求异 面直线所成的角常先作出所成角的平面图形, 作法有:平移法:在异面直线中的一条直线 上选择“ 特殊点 ”,作另一条直线的平行线,常 利用中位线;补形法:把空间图形补成熟悉 的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线 间的关系.要特别注意异面直线所成的角的范 围 : ( 0, 2 . 例1 如 图1,在 RtAOB中,OAB = 6 ,斜 边AB=4.RtAOC可以通 过RtAOB以直线AO为轴 旋 转 得 到,且 二 面 角 BAOC为直二面角, D是 AB的中点.求异面直线AO与 CD所成角的大小. 思路启迪:关键是通过平移把异面直线转 化到一个三角形内. 4 数理化学习(高中版)
