《第一讲 数学模型,数学建模与生物医学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一讲 数学模型,数学建模与生物医学（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 数学建模概论,1.1 生物医学数学 1.2 数学建模概论 1.2.4 数学模型数学建模 1.2.5 数学建模的方法和步骤 1.2.6 数学模型的特点和分类 1.2.7 怎样学习数学建模 1.3 数学建模示例,数学建模 生物医学工程专业,闵建中 2017年2月,教学要求,掌握生物医学数学模型的一些重要概念、公式与方法，了解数学在生物医学中的应用。 能够应用数学工具建立生物医学的数学模型 能初步掌握通过对模型的数学推理去研究生物医学领域相关问题的方法。,本课程考核方法：,往年的竞赛题（与生物医学相关），写成综述报告word格式，汇报做成ppt，建议图书馆知网搜索。 完成研究课题一道，自己解
2、决一道现实生活中的建模问题. 以上可以3-6人团队合作，报告时间尽量4560分钟，成绩按姓名排序，同时根据报告的结果打分。 1或2选一道（期末考试），实训报告份/人（期中考试） 提交：论文word +ppt（打印文本+电子版） 截止日期 ：6月16日(课程结束6月12日)， 电子文本发到:minjz。,讲课计划： 32课时=10次课+3次实验实训+3次小组报告,一、 生物医学数学,1.现代生物医学发展趋势 定性研究走向定量研究， 经历着数学化的发展进程。 即数学和生物医学的结合。,2.数学方法及应用,7,1）第一个运用数学方法研究生物医学问题的人,孟德尔在植物杂交研究中采用数理统计方法来对实验
3、结果进行统计分析，并用概率论来加以说明。在生物学史上，孟德尔是第一个运用数学方法来研究生物学问题的人。 以后概率统计在医学的应用非常广泛，如显著性检验、回归分析、全概率公式、Bayes公式、计量诊断模型、最大似然模型、决策树概率分布，微生物检测等，计算分子生物信息学等。,3.数学的生物医学应用的历史,8,2）生物统计学的创立,1901年 Pearson 创立生物统计学，开创了统计数学在生物医学上的应用研究，打破了数学在生物医学上的应用等于零的局面。,9,3）生物数学的开创,1931年，Volterra应用微分方程组研究动态平衡，完成了 生态竞争的数学原理，开创了一门新型分支：生物数学。 193
4、5，Mottram对小白鼠皮肤癌生长规律进行了研究，认为肿瘤的瘤细胞总数 n 随时间的变化速度与 n 成正比，且获得了体瘤在较短时间内符合指数生长规律的研究成果。 20世纪30年代，Blair等人对神经兴奋理论进行了研究，并应用微分方程建模，将医学问题数学化，取得了著名的神经刺激理论模型。,4）模糊数学与生物医学结合,1969年美国控制论专家、模糊数学创始人Zadeh发表的著名论文模糊集和系统在生物学中的应用，率先把模糊数学与生物医学联系了起来。,病因相连模型（CASNET） 传染病治疗诊断系统（MYCIN） 内科病诊断系统（INTERNIST） 肾脏病诊断系统（PIP） 肺病诊断系统（PUF
5、F） 他的模式：,5）医学专家咨询系统 在计算机出现后又有新的进展，现代数学化模式，特别进入到大数据时代，有更大的发展空间。,专家治病经验数学化计算机学习反馈修正专家系统计算机问诊,12,4.现代数学在医学上的一些例子,数学在心血管生理病理方面的应用 数学模型在药物动力学上的应用 医学统计学（Medical Statistics） 数学加上大数据挖掘技术是现代化医疗器械及医疗诊断方法的催化剂 数学与计算机的结合在生物技术和生物医学工程方面的应用,5）数学与当今医学,5）数学与当今医学,15,二. 数学模型，数学建模I,1、什么是数学模型 数学模型就是对实际问题的一种数学表述。即，根据现实世界某
6、对象特有的内在规律，进行必要的简化抽象，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 2、建立模型的一般步骤 1. 数学化 2. 建模 3. 反馈,16,3.生物医学数学化的一般模式,医学实际问题 数学化(定量分析) 数学模型(定量化公式或定性指标) 计算机完成计算与论证 反馈修正(实践检验) 定性理论,玩具、照片、飞机、火箭模型 , 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机 , 物理模型,地图、电路图、分子结构图 , 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征,4.
7、从现实对象到数学模型,常见的模型分类,数学模型的例子“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x =20 y =5,建立数学模型的基本步骤,1.作出简化假设（船速、水速为常数）；,2. 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,3.用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,4.求解得到数学解答（x=20, y=5）；,5.回答原问题（船速每小时20千米/小时）。,（以航行问题为例）,2003年D题 抢度长
8、江,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模, 百度百科的解释:,百科名片 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的
9、全过程就称为数学建模。,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数,5. 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模
10、型 构 成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世
11、界,数学世界,6. 数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态 ,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计 ,表现特性,描述、优化、预报、决策 ,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,7. 怎样学习数学建模,数学建模是一门技术，也是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,
12、“学数学”到“用数学”,三、 数学建模示例,例1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性.,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置.,四只脚着地,距离是的函数.,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋
13、转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,3）由 f, g 的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0 0 /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) .,1）将椅子旋转90o，对角线AC和BD互换. 由 g(
14、0)=0，f(0) 0，知 f(/2)=0, g(/2)0.,2）令 h()= f()g(), 则 h(0)0 和 h(/2)0.,4）因为 f() g()=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键：,假设条件中哪些是本质的, 哪些是非本质的?,考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4).,用表示椅子的位置,椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？,用 f(), g()表示椅脚与地面的距离,证明过程的粗糙之处：,例2.研究血液在动静脉血管中的流量Q：,单位时间的血流量Q能否有一般的数学公式呢？,血液在血管中心处流得最快，管壁处流速为零，存在着从管心到管壁的速度递减，
15、流过一个半径为r的圆环的流速为：,通过该圆环单位时间的血流量 ： dQV(r)2rdr 单位时间血液总流量为 ：,场景,例3. 如何施救药物中毒,两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.,诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.,按照药品使用说明书，氨茶碱的成人用量是100200mg / 次，儿童是35 mg/kg.,过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，100g/ml浓度会出现严重中毒，200g/ml浓度可致命.,医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100200 g/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.,调查与
16、分析,转移率正比于x,排除率正比于y,认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” .,药量x(t),药量y(t),血液系统对药物的吸收率 (胃肠道到血液系统的转移率) 和排除率可以由半衰期确定.,半衰期可以从药品说明书上查到.,通常，血液总量约为人体体重的78%，体重5060 kg的成年人有4000ml左右的血液.,目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml.,调查与分析,血药浓度=药量/血液总量,口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.,临床施救的办法：,体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.,模型假设,1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系数(0)，总剂量1100mg药物在t=
