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1、第五章 相似矩阵及二次型第一节向量的内积一数学概念1.内积：设有n维向量令，则称x,y为向量x与y的内积。2.范数：称为向量x的范数(或长度)。3.单位向量：称时的向量x为单位向量。4.当，时，称为向量x与y的夹角。5.正交向量组：指一组两两正交的单位向量。6.标准正交基：设n维向量是向量空间V的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称是V的一个标准正交基。7.正交矩阵：如果n阶方阵A满足那末称A为正交矩阵。8.正交变换：若P为正交矩阵，则线性变换x=Py称为正交变换。二原理，公式和法则1 .内积的结果是一个数(或是一个多项式)，且满足如下性质(其中x,y,z为n维向量，为实数)：(i)；(
2、ii)；(iii)2 .向量的范数是一个数，且满足如下性质：(i)非负性当x 0时,；当x= 0时,。(ii)齐次性；(iii)三角不等式。3.是单位向量。4.正交向量组是线性无关的。5.施密特标准正交化设线性无关，取,令第二节方阵的特征值与特征向量一.数学概念1.特征值与特征向量：设A为n阶方阵，若数和n维的非零列向量x，使关系式Ax=x成立，则称数为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应与特征值的特征向量。2 .特征多项式3 .特征方程二.原理，公式和法则1 .求特征值与特征向量的方法：(1)(实用于抽象矩阵)；(2)(实用于具体矩阵)；(3)(主要用于求特征向量)。2 .主要公式设是A的
3、特征值，x是A的对应于特征值所对应的特征向量，则有注：特征值与特征向量指A可逆时。3 .特征值与特征向量的性质设是A的n个特征值，则有1)2)3)A可逆的充分必要条件是A没有零特征值。4)A不可逆的充分必要条件是A有零特征值。5)方阵A不同的特征值对应的特征值是线性无关的。第三节相似矩阵一.数学概念1 .相似矩阵：设A、B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使，则称B是A的相似矩阵，记之AB。2 .相似变换对A进行运算称为对A进行相似变换矩阵。二.原理，公式和法则1 .相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。2 .若A相似于对角矩阵L，则L主对线上元素是A的n个特征值。3 .n阶方阵A能与
4、对角矩阵L相似的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量。4 .若n阶方阵A的n个特征值各不相同，则A与对角阵L相似。5 .实对称矩阵的特征值为实数。6 .实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的。7 .设是实对称矩阵A的k重特征值，则矩阵的秩，从而对应k重特征值恰有k个线性无关的特征向量。8 .设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使，其中L是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。第四节二次型及其标准形一数学概念1.二次型称含有n个变量的二次齐次函数为二次型。2.二次型的矩阵形式3.二次型的秩f的秩=R(A).4.二次型的标准形称只含有平方项的二次型为二次型的标准形(或法式)。
5、二原理，公式和法则1.设可逆的线性变换x=Cy，将f化成标准形，即其实质将对称矩阵A化成对角阵L。2.任给可逆矩阵C，令B=CTAC，如果A为对称矩阵,则B也为对称矩阵，且R(B)=R(A)。3.任给二次型，总存在正交变换x=Py，使f化成标准形，其中是f的矩阵的特征值。第五节.配平方法与合同变换法一.数学概念若存在可逆矩阵P，使得，则称矩阵A和矩阵B是合同的。二.原理，公式和法则1.若A合同B，则R(A)=R(B)；2.任何一个对称矩阵均可合同于一个对角矩阵；3.若，且C可逆，A对称，则其中是初等方阵。由于即(1)(2)结合(1)和(2)，得第六节正定二次型一数学概念1 .正定二次型设有实二
6、次型，如果对任何x0都有f(x)0(显然f(0)=0)，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A0.2 .负定二次型对于实二次型，如果对任何x0都有f(x)0，则称f为负二次型，并称矩阵A是负的，记之A0.二.原理，公式和法则惯性定律设有实二次型，它的旨为r，有两个实可逆变换x=Cy，及x=Pz使及则中正数的个数相等。正定二次型的判定实二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。正定矩阵的判定对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺次主子式都为正。即。负定矩阵的判定对称矩阵A为负定矩阵的充分必要条件的：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即
