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1、随机过程 授课教师：樊平毅授课教师：樊平毅 助教： 陈智助教： 陈智 Tel: 62786973 王卿王卿 Tel: 62796973 1/2 1/2 课程内容简介课程内容简介 ?第一章 概论第一章 概论 ?第二章 平稳过程与二阶矩过程第二章 平稳过程与二阶矩过程 ?第三章 离散鞅论第三章 离散鞅论 ?第四章第四章 Poisson与更新过程与更新过程 ?第五章第五章 Brown运动运动 ?第六章第六章 Markov链链 ?第七章 连续参数第七章 连续参数Markov链链 本课程评分标准本课程评分标准 ?平时作业平时作业(14%) ?两次两次Project(12%) ?期中考试期中考试(24%)
2、 ?期末考试期末考试(50%) 参考文献参考文献: 见网络学堂 主要参考书 见网络学堂 主要参考书: 樊平毅 随机过程理论与应用 清华大学出版社 樊平毅 随机过程理论与应用 清华大学出版社 第一章概论第一章概论 ?1.1 随机过程的基本特点随机过程的基本特点 ?1.2 随机过程的研究范围随机过程的研究范围 ?1.3 随机过程的分类方法随机过程的分类方法 (1) ?1.4 随机过程的示例随机过程的示例 ?1.5 随机过程的数字特征及基本概念随机过程的数字特征及基本概念 ?1.6 随机过程的分类方法随机过程的分类方法 (2) 节点随机分布图节点随机分布图 (均匀分布均匀分布) 随机轨迹曲线 时间轴
3、 随机轨迹曲线 时间轴 图例图例: 一个物体的运动轨迹一个物体的运动轨迹 随机运动轨迹随机运动轨迹, 观察到什么观察到什么 给出你的结论给出你的结论 超市排队问题超市排队问题 时间轴 排队的顾客数统计曲线 时间轴 排队的顾客数统计曲线 图形配色问题图形配色问题 随机分配 颜色配置 随机分配 颜色配置 1.1 随机过程的基本特点随机过程的基本特点 ?随机变量随机变量 ：某一变量以一定的概率取一确 定的值，通常将这种变量称为随机变量 某一变量以一定的概率取一确 定的值，通常将这种变量称为随机变量 ?随机过程随机过程：在随机过程的定义中引入了空 间的概念，即在空间中每个位置上它都呈 现为一个随机变量
4、。如果空间取为时间 域，那么它在每一个时刻都呈现为一个随 机变量。如果从时间域上看，它是时间 在随机过程的定义中引入了空 间的概念，即在空间中每个位置上它都呈 现为一个随机变量。如果空间取为时间 域，那么它在每一个时刻都呈现为一个随 机变量。如果从时间域上看，它是时间 t 的一个函数，反映了随时间的变化过程。的一个函数，反映了随时间的变化过程。 1.1 随机过程的基本特点随机过程的基本特点 ?随机过程的特点：随机过程的特点： （1）在时刻的单个样本值是一随机 变量。 （ ）在时刻的单个样本值是一随机 变量。 （2）的数学期望是确定 的，其中 ）的数学期望是确定 的，其中E( )表示统计平均运算
5、。 （ 表示统计平均运算。 （3）是关于）是关于t 的函数，此时呈现 了函数的特性，因此可以看作一随机 函数。 的函数，此时呈现 了函数的特性，因此可以看作一随机 函数。 )(t )(t 0 tt = )( 0 t )()( 00 tEts= )()(tEts= )(t 1.1 随机过程的基本特点随机过程的基本特点 ?随机过程具有二重性：随机过程具有二重性： （1）随机性随机性：对任何单个样本值而言，它 是一随机变量。 （ ：对任何单个样本值而言，它 是一随机变量。 （2）函数特性函数特性：在整个时域空间上，是一 随机函数。 ：在整个时域空间上，是一 随机函数。 1.2 随机过程的研究范围随机
6、过程的研究范围 ?依据随机过程依据随机过程单样本值为随机变量单样本值为随机变量的特点，相应的研究 内容包括：连续型随机过程和离散型随机过程，具体的 研究对象包括： 的特点，相应的研究 内容包括：连续型随机过程和离散型随机过程，具体的 研究对象包括：均值、方差、协方差、有限维联合分布均值、方差、协方差、有限维联合分布 等。等。 ?依据随机过程的依据随机过程的函数特性函数特性，相应的研究内容应包括：，相应的研究内容应包括：时 间上的相关性、连续性与离散性、随机过程的导数、微 分、积分、卷积、级数展开、微分方程、积分方程等 时 间上的相关性、连续性与离散性、随机过程的导数、微 分、积分、卷积、级数展
7、开、微分方程、积分方程等。 ?依据随机过程的依据随机过程的二重性的联合特征二重性的联合特征，相应的研究内容应 包括： ，相应的研究内容应 包括：互相关函数、空间的遍历性、时域平均与集总平 均的关系、随机抽样定理、滤波理论、估计与预测方法 等。 互相关函数、空间的遍历性、时域平均与集总平 均的关系、随机抽样定理、滤波理论、估计与预测方法 等。 1.2 随机过程的研究范围随机过程的研究范围 ?随机过程的数学定义随机过程的数学定义：设：设(.F.P)是一概 率空间，其中是一个集合， 是一概 率空间，其中是一个集合，F是由的 某些子集所组成的一个代数， 是由的 某些子集所组成的一个代数，P是在可测 空
8、间 是在可测 空间(.F)上定义的一个概率测度。上定义的一个概率测度。T是 一个指标集，若对每一个 是 一个指标集，若对每一个 tT , 是一随机变量，则称为该概率 空间上的随机过程。为方便起见，通常记 为。 是一随机变量，则称为该概率 空间上的随机过程。为方便起见，通常记 为。 ),( wt )(),(wwt t = )(t 1.3 随机过程的分类方法（随机过程的分类方法（1） ?指标集指标集T可以分为可以分为离散和连续离散和连续两类： （ 两类： （1）T为一有限集或可列集为一有限集或可列集 (离散的情 况 离散的情 况)，这类随机过程称为，这类随机过程称为离散参数的随机 过程或随机序列。
9、 离散参数的随机 过程或随机序列。 （2）T为不可列集（连续的情况），这类 随机过程称为 为不可列集（连续的情况），这类 随机过程称为连续参数的随机过程连续参数的随机过程。 1.3 随机过程的分类方法（随机过程的分类方法（1） ?综合随机变量类型和指标集类型，随机过 程可以分为以下四类： 综合随机变量类型和指标集类型，随机过 程可以分为以下四类： T 变量变量 (1) 离散离散参数参数离散离散型随机过程型随机过程 (2) 连续连续参数参数离散离散型随机过程型随机过程 (3) 离散离散参数参数连续连续型随机过程型随机过程 (4) 连续连续参数参数连续连续型随机过程型随机过程 归纳处理归纳处理 1
10、.4 随机过程的示例随机过程的示例 ?例例1：随机游动：随机游动 (离散参数离散型离散参数离散型随机过程随机过程) 我们假设每隔我们假设每隔T秒，抛掷硬币一次，在每次抛掷 后，依据硬币出现的正、反面，我们在一条直线 上移动一格。具体移动规则如下：如硬币出现正 面向右移；如硬币出现反面向左移。假设在 秒，抛掷硬币一次，在每次抛掷 后，依据硬币出现的正、反面，我们在一条直线 上移动一格。具体移动规则如下：如硬币出现正 面向右移；如硬币出现反面向左移。假设在t=0 时，我们位于起始点，相应的位置记。 经时间 时，我们位于起始点，相应的位置记。 经时间nT秒后，我们偏离原点的距离为。 于是，随机游动可
11、以用一个离散参数离散型随机 过程描述。 秒后，我们偏离原点的距离为。 于是，随机游动可以用一个离散参数离散型随机 过程描述。 0)0(=X )(nTX 举例说明举例说明 01-1 1.4 随机过程的示例随机过程的示例 假设在前假设在前n次抛掷中出现次抛掷中出现k次正面。这意味 着，在时刻 次正面。这意味 着，在时刻 t=nT，我们已经向右移动了，我们已经向右移动了 k格，向左移动了格，向左移动了n-k格。 因此 若记，于是有 因此 值得注意的是 格。 因此 若记，于是有 因此 值得注意的是n和和r的奇偶性是相同的。的奇偶性是相同的。 nkknknTX=2)()( rnTX=)( 2 nr k
12、+ = 222 )2/1 ()2/1 ()( rnnrrn n CrnTXP + = 特殊的处理特殊的处理 1.4 随机过程的示例随机过程的示例 ?例2：AM调制系统（例2：AM调制系统（连续参数离散型连续参数离散型随机过程） 在数字通信系统中，有一种调制方式是利用信号 的幅度高低区分信号的。假定传送的信号是脉宽 为的脉冲信号，每隔送出一个脉冲，脉冲幅 度为一随机变量。若以等概取值， 且不同周期内脉冲幅度是相互独立的，脉冲的起 始时间相对于原点（ 随机过程） 在数字通信系统中，有一种调制方式是利用信号 的幅度高低区分信号的。假定传送的信号是脉宽 为的脉冲信号，每隔送出一个脉冲，脉冲幅 度为一随
13、机变量。若以等概取值， 且不同周期内脉冲幅度是相互独立的，脉冲的起 始时间相对于原点（t=0）的时间差）的时间差U为均匀分 布在内的随机变量。于是的表达式为 为均匀分 布在内的随机变量。于是的表达式为 0 T 0 T )(t3 , 1 , 1, 3 ,0 0 T)(t )()( 0 0 UnTtFat n n = = 特殊的 应用例子 特殊的 应用例子 数学表达式数学表达式 1.4 随机过程的示例随机过程的示例 其中 ,3 , 1 , 1, 3 n a = 其他0 01 )( 0 Tt tF 1.4 随机过程的示例随机过程的示例 ?例例3：(离散参数连续型离散参数连续型随机过程随机过程) 设某
14、通信系统，它的信号为脉冲信号，脉 宽为，脉冲信号的周期也假定为。如 果脉冲幅度是随机的 设某通信系统，它的信号为脉冲信号，脉 宽为，脉冲信号的周期也假定为。如 果脉冲幅度是随机的, 幅度服从参数为 负指数分布（ 幅度服从参数为 负指数分布（Rayleigh 衰落信道），且 不同周期内的幅度是相互统计独 立的，脉冲起始时间设为 衰落信道），且 不同周期内的幅度是相互统计独 立的，脉冲起始时间设为t=0。 TT ()ki ki , 特殊的 应用例子 特殊的 应用例子 1.4 随机过程的示例随机过程的示例 相应的信号幅度表达式为 其中 服从参数为的负指数分布。 相应的信号幅度表达式为 其中 服从参数
15、为的负指数分布。 )()( 0 nTtFt n n = = n = = others kTt tF 0 1 )( 数学表达式数学表达式 1.4 随机过程的示例随机过程的示例 ?例例4：(连续参数连续型连续参数连续型随机过程随机过程) 在载波通信系统中，发送端的载波信号常 采用如下表达式 其中 在载波通信系统中，发送端的载波信号常 采用如下表达式 其中V, w为常数， 为（为常数， 为（0,2）内均匀 分布的随机变量。此时为一连续参数连 续型随机过程。 ）内均匀 分布的随机变量。此时为一连续参数连 续型随机过程。 )cos()(+=wtVt )(t 特殊的 应用 特殊的 应用 1.5 随机过程的
16、随机过程的数字特征及基本概念数字特征及基本概念 ?随机过程的数字特佂应包括： 假设为一随机过程， 则 随机过程的数字特佂应包括： 假设为一随机过程， 则 均值均值定义为： 相应的 定义为： 相应的方差方差定义为：定义为： 二阶混合原点矩二阶混合原点矩定义为：对任意的，定义为：对任意的， 二阶混合中心矩二阶混合中心矩定义为：对任意的，定义为：对任意的， )(t Tt 1 )()( 11 tEt= 2 1111 2 )()()()(ttEtDt = Ttt 21, ).()(),( 2121 ttEttR = Ttt 21, ).()()()(),( 221121 ttttEttC = 基 本 定 义 处理 基 本 定 义 处理 要点解析要点解析: 中心矩
