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1、2019-2020平方差与完全平方公式培优专题（含答案）一、单选题1的个位数是（ ）A.4B.5C.6D.82若是一个完全平方式，则常数k的值为（ ）A.6B.C.D.无法确定3（ ）A.B.C.D.4已知是一个有理数的平方，则n不能取以下各数中的哪一个（ ）A.30B.32C.D.95已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则ab=（）A1BC1D6如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为，小正方形的面积为4，若用表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）A BC D二、填空题7若是关于的完全平方式，则_8若m+=3，则m2+=_9若
2、x=2，则x2+的值是_10已知， （1）则_；（2）则_11已知1x2，x+1x1=7，则x11x1的值是_12先阅读后计算：为了计算4（5+1）（52+1）的值，小黄把4改写成51后，连续运用平方差公式得：4（5+1）（52+1）=（51）（5+1）（52+1）=（521）（52+1）=2521=624请借鉴小黄的方法计算：（1+）(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)，结果是_13如果实数a，b满足a+b6，ab8，那么a2+b2_14在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再沿虚线剪开，如图，然后拼成一个梯形，如图根据这两个图形的面积关系，用等式表示是_ 15若，则 _.
3、16已知（a2016）2+（2018a）2=20，则（a2017）2的值是 . 17计算：（a+1）2a2=_三、解答题18阅读材料：若，求，的值 解：，根据你的观察，探究下面的问题：（1），则_，_（）已知，求的值（）已知的三边长、c都是正整数，且满足，求的周长19如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积20已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值；21已知，求的值22先化简，再求值：（a2b）（a+2b）（a2b）2+8b2，其
4、中a=2，b=23先化简，再求值：已知代数式(ax3)(2x+4)x2b化简后，不含有x2项和常数项.（1）求a、b的值；（2）求(ba)(ab)+(ab)2a(2a+b)的值.24先化简，再求值：（a+b）2+b（ab）4ab，其中a=2，b=25先化简，再求值：（x+y）（xy）+y（x+2y）（xy）2，其中x=2+，y=226计算:.27阅读题.材料一：若一个整数m能表示成a2-b2(a,b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，3=22-12，9=32-02，12=42-22，则3，9，12都是“完美数”；再如，M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整数),所以M也是
5、”完美数”. 材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分解：npq(p、q是正整数，且pq)如果pq在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是n的最佳分解，并且规定F(n).例如181182936，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F(18).请解答下列问题：(1)8_（填写“是”或“不是”）一个完美数，F(8)= _.(2)如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是完美数”.(3)若一个两位数n的十位数和个位数分别为x,y(1x9),n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F(n)的最大值.28如图，某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门
6、计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积29已知a，b，c是ABC的三边长，且满足a2+b24a8b+20=0，c=3cm，求ABC的周长30有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程方案二：方案三：31请认真观察图形，解答下列问题：如图，1号卡片是边长为a的正方形，2号卡片是
7、边长为b的正方形，3号卡片是一个长和宽分别为a，b的长方形（1）若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、1张、2张，可拼成一个正方形，如图，能用此图解释的乘法公式是_；（请用字母a，b表示）（2）若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则能用此图解释的整式乘法运算是_；（请画出图形，并用字母a，b表示）（3）如果图中的a，b（ab）满足a2+b2=57，ab=12，求a+b的值；（4）已知（5+2x）2+（3+2x）2=60，求（5+2x）（2x+3）的值 32已知：x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，求x+y的值33已知是等腰ABC的边且满足
8、，求等腰ABC的周长。34若a2+b2+4a-6b+13=0，试求ab的值35探索题图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形（1）你认为图b中的影部分的正方形的边长等于 （2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积方法1： (只列式，不化简）方法2： (只列式，不化简）（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n)2，(m-n)2，（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，则 (a-b)2= 参考答案1C【解析】【分析】原式中的3变形为22-1，反复利用平方差公式计算即可得到
9、结果【详解】3（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）（232+1）+1=264-1+1=264，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，644=16，264个位上数字为6，即原式个位上数字为6故选：C【点睛】本题考核知识点：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键2C【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值【详解】解：是一个完全平方式，解得：，故选：C【点睛】此题考查了完全平方式，熟练
10、掌握完全平方公式是解本题的关键3A【解析】【分析】先乘以（2-1）值不变，再利用平方差公式进行化简即可.【详解】=（2-1）=24n-1.故选A.【点睛】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键.4B【解析】【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可【详解】2n是乘积二倍项时，2n+216+1=216+228+1=（28+1）2，此时n=8+1=9，216是乘积二倍项时，2n+216+1=2n+2215+1=（215+1）2，此时n=215=30，1是乘积二倍项时，2n+216+1=（28）2+2282-9+（2-9）2=（
11、28+2-9）2，此时n=-18，综上所述，n可以取到的数是9、30、-18，不能取到的数是32故选B【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键5C【解析】分析：利用完全平方公式解答即可详解：a+b=2，ab=，（a+b）2=4=a2+2ab+b2，a2+b2=，（a-b）2=a2-2ab+b2=1，a-b=1，故选：C点睛：本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键6C【解析】试题分析：根据正方形、长方形的面积公式结合完全平方公式分析各选项即可.由图可得，故选C.考点：完全平方公式，正方形的面积公式，长方形的面积公式点评：解题的关键是熟练
12、掌握完全平方公式：77或-1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=8，进而求出答案详解：x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，2（m-3）=8，解得：m=-1或7，故答案为：-1或7点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键87【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案详解：把m+=3两边平方得：（m+）2=m2+2=9，则m2+=7，故答案为：7点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键96【解析】根据完全平方公式，可知（x）2= x2-2+=4，移项整理可得
13、x2+=6.故答案为：6.点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.10； 【解析】试题解析：将a+b=-3两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=9，把ab=-2代入得：a2+b2-4=9，即a2+b2=13；（a-b）2=a2+b2-2ab=13+4=17，即a-b=11-2【解析】x+1x1=7，x-1+1x1=6，（x-1）-2+1x1=4，即x11x12 =4，x11x1=2，故答案为：2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.122【解析】根据题目中所给的方法可得：原式=2（1-）（1+）(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)=2（1-）（1+）(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)=2（ ）=.故答案为：.点睛：本题考查了平方差公式的运用，添加2(1)是解题的关键，利用平方差公式拆项后前一项与后一项出现倒数是解题的关键，计算中有时利用公式求解
