流体力学教学第二章

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1、1 第二章 流体静力学 21 作用在流体上的力、表面力、质量力 在运动的实际流体中任取一块流体，其体积为V，表面积为A，在这块流 体上任取一微元面积A，作用在其表面上的力为F，分解为 切向力 法向力 F Fn ，则 法向力： A F p A n 0 lim = (N/m 2 ) 切向力： A F A 0 lim = (N/m 2 ) 在这块流体上，取一流体微团，其体积为，由于地球引力的作用，产生 的重力为g V。由于流体存在加速度a ，根据达朗贝尔原理，虚加的惯性力为- a 。所以，流体所受的力为： 惯性力 重力 或体积力质量力 一般情况不考虑和表面张力摩擦力切向应力 压力法向应力 表面力 )

2、( )()( )( P 表面力是指作用在流体中的所取某部份流体体积表面上的力，也就是该 部分体积周围的流体（既可是同一种类的流体，也可是不同种类的流体）或固 体通过接触面作用在其上的力。 质量力是指作用在流体内部所有流体质点上并与流体的体积或质量成正 比的力，又称体积力。 通常，单位质量流体的质量力用 f表示，在笛卡尔直面坐标系中： kji zyx ffff += F Fn F a aV Vg V A 2 流体静力学研究流体处于静止状态时各种物理量的分布规律及在工程实 际中的应用。所谓流体的静止状态是指流体对选用的坐标系无相对运动的状 态。 3 22 流体的静压强及其特性 在静止的流体中，任取

3、一块流体。当A0时，p就定义为空间某点的静压 强： A P p A lim 0 = 静压强的两个特性： 1流体静压强指向作用面的内法线方向。 2流体中任意点静压强的大小只是位置的函数，即p=f(x，y，z)与其作用 面的方向无关，又称作静压强各向同性。 证： 流体中任意点所受的力均可分为切应力和压应力。因总体静止，0 d d = y u ， 故切应力0=，所以，只存在法向应力，当然垂直于作用面。又：流体在拉力 作用下，要发生运动，因为静止，故只存在压应力。所以静压强指向作用面的 内法线方向。 证： 取一流体微团，由于流体静止，根据牛顿第二定律： 0 x = F 0sindd sx =spyp

4、sx pp= 当 dx0；dy0，重力 2 ddyx gG=时，三角形向一点靠近，此时 dxdy为 二阶微量。 P A dx px py dy y x ps 4 由= 0 y F 0 2 dd cosdd= yx gspxp sy sy pp= 、联立得pxpyps。若将 x或 y坐标换成 z 坐标，同理可得pxpy pzps。这就证明了静压强的大小（数值）仅是位置的函数，即p（x，y， z），而与作用面的方向无关。称作静压强各向同性。 5 23 流体的平衡微分方程式 如书 14 页图所示，在静止流体中任取一边长为dx、dy、dz的微元平行六面 体。其中心点处流体静压力为p。其余六个面上的压力

5、按泰勒级数展开，并略 去二阶以上无穷小。由于是微元六面体，所以可以把各微元面上中心点处的压 力视为平均压力，且单位质量流体所受的质量力为。 X方向受力分析： 由于流体处于平衡（静止）状态，则 0ddddd) 2 d (dd) 2 d (=+ + = zyxfzy x x p pzy x x p pF xx 0dddddd= zyx x p zyxfx 同理得： = = = 0 1 0 1 0 1 z y x z p f y p f x p f 这就是流体平衡微分方程式，又叫欧拉平衡微分方程式，是欧拉（俄国科 学院院士）在 1775 年提出的。将欧拉方程三式相加，写成矢量形式为： 0grad 1

6、 =pf 其中：gradp=p= x p +i y p j + z p k 为压力梯度。 为哈密尔顿算子，且= x +i y j + z k 又将欧拉平衡微分方程式两边同乘以 dx、dy、dz后相加整理得到压强差方 程： pz z p y y p x x p zfyfxfdddd)ddd( zyx = + + =+ 6 欧拉平衡微分方程式与压强差方程是流体静压力分布的最一般规律，是解 决一切流体静力学问题的基本出发点。 因为 dp是压力的全微分，所以xdx+ydy+zdz也可称作是某一函数（ ）的全微分。 即xdxydyzdz=d()=d=（z x y y x x ddd + + ） x f

7、= x , y f = y , z f = z 写成矢量形式为： )(gradk x j y i x f + + = ) 即单位质量流体的质量力是的负梯度。上式右侧规定为负号，表明质量 力作正功等于质量力势的减少。 的物理意义分析如下： 显然的偏导数为质量力在各坐标轴的投影，而流场中空间任意点均存在 质量力，所以，这个空间可叫做质量力场，或叫势力场。若空间 A点处单位质 量的流体在质量力的作用下移动了 dl的距离，则质量力作功为： zfyfxflfdddd zyx += 在重力场中：fx=fy=0 fz=g1=g 负号表示 z轴正向取为垂直向上的方向，而重力方向永远向下。若在重力 作用下，单位

8、质量的流体下落了 dz： 重力作功为gdz=fz= z 位能或势能下降了gdz=z z d ，可见=gz，所以反映了单位质量流体的 势，所以叫做力的势函数。此外，由于 dp=d，当 dp0时 d0，且 gradf= ，可以得出： 在有势的力场中，等压面即等势面；或等压面与等势面重叠。 7 f 垂直并指向等势面，即垂直指向等压面。 证： 由 dp=0，则fxdx+fydy+fzdz=0 其中 dx ,dy ,dz为等压面上一段无限小的距离l d在 x , y , z轴的投影 即：kzj yi xl dddd+= 而kfjfiff zyx += 而点积0ddd zyx =+=zfyfxf l d

9、f 说明f 为等压面垂直，证毕。 则等压面微分方程为： =+zfyfxfddd zyx 0 8 2重力场中液体的平衡 在自然界和工程中经常遇到的是作用在流体上的质量力只有重力的情况， 此时： fx=0；fy=0；fz=g 因此： zgzfyfxfpd)ddd(d zyx =+= 0d d dd=+=z g p zgp 当流体是均质不可压流体时（即)const=积分上式得： const=+ g p z 或： g p z g p z 2 2 1 1 +=+ )( 2112 zzgpp+= 因为在推导过程中只考虑了g且g为常量，所以，静力学基本方程 仅适用于不可压均质重力流体，对非均质流体是不适用的

10、。 静力学基本方程的物理意义及几何意义。 1物理意义 先讨论z： 如果流体处在z的高度，它的重量为，则它的位能为Gz，令，则 单位重量流体的位能为 z。 再讨论 g p ： 重量为的流体在 a点的压力为p，接上 测压管后，由于p的作用，流体在压差的作 p0 z x p,G g p h = p 绝对真空 a 9 用下，沿管向上流动。设测压管截面积为s，则压力合力为ps，重量为的流 体流过横截面时， 流过横截面的体积= g G 流体上升的高度 sg G 压力作功压力合力上升高度 g pG sg G sp = = 令，则单位重量流体的压能为 g p g p z +又称为单位重量流体的总势能或静水头（

11、或静能头）。 几何意义 取一密闭容器，注意开两孔， :这里pp, zz 但const 2 2 1 1 =+=+H g p z g p z 即流体静力学基本方程的几何意义为： 在静止不可压流体中，任意点单位重量流体的总势能 位能 压能 保持不变。或 者说，对某一基准线，任意点静水头的连线为一水平线。 对某一容器，对表面上的某点和淹深为h的任意点，根据静力学基本方程 式有： g p g p h +=+0 0 ghpp+= 0 此式为静力学基本方程式的另一形式。 p0 H 1 g p h = 2 绝对真空 2 z2 g p h = 1 z1 H p0 z x p h z=0 10 1)液体在深度为h

12、处的压力等于自由表面的压力 0 p加高为h，底为的液体 的重量，并且压力随深度h按直线关系变化。 2）自由表面压力p的任何变化，均会引起液体内部压力p的变化。 应用 液压传动 水压机 3）在静止流体中，深度相同的诸点压力均相等。可见，在均质重力流体 中，等压面为水平面，因为h常数。对非均质流体（即非同一种流体），虽 为同一水平面，但却并非全是等压面。 另外，若p改变，则作用在流体内注意点的压力将会发生相应改变。如图 所示：容器上加一活塞 作用力为，活塞面积为，则： A F p= 0 液体中任意一点的压力为： gh A F ghpp+=+= 0 若F增大或减小，液体仍处于静止平衡，则液体内任何一

13、点的压力也随之 增大或减小。由此可得结论：在平衡液体中，作用在液体部分边界面上的外力 所产生的压力将均匀地传递到液体的每一点上去，这就是著名的帕斯卡原理 ， 也是水压机液压传动装置的设计原理。 F 11 25压强的计量 一、绝对压强、相对压强和真空一、绝对压强、相对压强和真空 由ghpp+= 0 当自由表面上的压强为大气压时，即ppa时，则ghpp a +=，此时的p 定义为绝对压强。而ppa=gh=pg称为相对压强（即以大气压为基准，绝对 压强高于大气压的数值），又称为计示压强。 当ppa时， pa-p=-(p-pa)pv称为真空。（可见真空为负的相对压强） 注意： 相对压强是以大气压作为基

14、准的 pv（真空）为负的相对压强 绝对压强永远为正值，最小为零（完全真空） 另外，物理学以及气体动力学一般多用绝对压强，工程技术中液体多用计 示压强，这是因为在工程技术中，测量压强的仪表大都与大气相通，因而，实 际测得的是绝对压强和大气压强之差，即计示压强。 二、液体柱式测压计二、液体柱式测压计 液柱式测压计就是利用液体柱垂直于地面的高度，来测量绝对压强和大气 压强之差。 U形管测压计（液柱式测压计） 假设容器出口压强为p，被测液体密度为，U形管中液体密度为，要求 。先找等压面pp 而： += += 22a2 111 ghpp ghpp 联立，则p=pa+2gh2-1gh1 计示压强为：pg=p-pa=2gh2-1gh1 当被测流体是气体时，1gh这一项通常忽 略。 P p pv ppa p时，即有压差时，玻 璃中液面上升l长度，液面上升高度sin 1 lh=，液面下降h，由h 1l，则h 2 1 A A l 则两液面实际之高度差为： h=h1+h2=lsin+l 2 1 A A =l(sin+ 2 1 A A ) 找等压面，则： ppgh kl A A glghpp=+=)(sin 2 1 12 其中：k=g(sin+ 2 1