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1、第十讲 两个随机变量的函数的分布1. Z=X+Y 的分布（两个随机变量的和的分布）例设（X，Y）的概率密度为 f (x,y),求Z=X+Y 的概率密度. 解：随机变量 Z 的分布函数FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)Ddxyf),(这里积分区域 D=(x, y): x+y z是直线 x+y =z 左下方的半平面.即 zyxZdxyfF),()(化成累次积分,得 yzZyxf),()(固定 z 和 y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得zZ dyufF),()(更换积分次z序)由概率密度的定义, 得 Z=X+Y 的概率密度为: （5.1）dyzfzFfZ),()(由 X 和 Y
2、 的对称性, fZ (z)又可写成（5.2）xzzfZ),()(以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.第三章 多维随机变量及其分布5 两个随机变量的函数的分布变量代换细节：令 x=u-y 时，有 .;zuyzxd时 ，当 时 ，当积分上限的函数及其导数定理：如果函数 在区间)(xfa,b上连续，则积分上限的函数在a,b上具有xadtf)()(导数，并且它的导数是 )()()()( bxaxftfxa （证明过程请参见高等数学 第四版 同济大学数学教研室 主编 高等教育出版社出版 P289P290）uyO特别，当 X 和 Y 相互独立时，设(X,Y)关于X,Y 的边缘密度分别为 fX(
3、x) , fY(y) , 则上述两式化为:（5.3）dyfzfzfYXZ)()(（5.4）xx)这两个公式称为卷积公式，记为 。YXf例 设 X 和 Y 是两个独立的随机变量。它们都服从 N(0,1)分布，其概率密度为， ,21)(xXexfx， .2)(yYyfy求 Z=X+Y 的概率密度。解：由（5.4）式 dxedxzfxzf zzzYXZ22 224)(11()(令 ，得xt2222)(4411)(zztzZeedxzf即 Z 服从 N(0,2)分布。一般地，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，即若 ，且它们相互),21)(,niNXii 22222)(41)(zx
4、zxx正态分布: XN( , ).2 )10.4(,e1)(2)(xxfx独立，则它们的和仍然服从正态分布，nXZ21且有.),(22121 nnN例 在一简单电路中，两电阻 串联21R和联接，设 相互独立，它们的概率密度21,R均为 .,0,105其 它xxf求总电阻 R=R1+R2 的概率密度。解：由(5.4)， R 的概率密度为,dxzfzfZ)()(而且仅当即 时，10,xzzxz,10以上积分的被积函数不等于零，结合图形知 .,0,201,)()(10 其 它zzZ zdxzfxf即 .,0201,)215,1),6-z)(332其 它（ zzfZ例设二维离散型随机变量(X,Y)的联
5、合分x=10xzx=zx=z-10O 10 20布律为 的 分 布 律 试 求 随 机 变 量 YXZ解：由于 X 的可能取值为 1 和 2，Y 的可能取值为 0 和 1，因此，Z=X+Y 的可能取值为 1，2 和 3.PZ=1=PX=1,Y=0= 4PZ=2=PX=1,Y=1+ PX=2,Y=0= =810PZ=3=PX=2,Y=1= 5即 Z 1 2 3 P 418185（课间休息）2. M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布（两个随机变量的极值的分布）例 设 X,Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 FX(x)和 FY(y)。求M=max(X,Y)及 N=min
6、(X,Y)的分布函数。解：（1）由于 M=max(X,Y)不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 Z，故有PM =Px ,y .zz又由于 X 和 Y 相互独立，得到M=max(X,Y)的分布函数为 )(max zyPXzMPzF即有（5.7）)()(axzFzYX（2）类似可得， )(1)(1,1)(min zFYPXyzPzNzF即（5.8）)()()(min zzFYX以上结果容易推广到 n 个相互独立的随机变量的情况。设 是 n 个相互独,21立的随机变量。它们的分布函数分别为，则),)(nixFXi 和 的,ma21M ),mi(N21nX分布函数分别为 )()()(n21ax z
7、FzXX)(121min zFnX特别地，当 相互独立且具有相n,2同分布函数 有)(xnXzF)(max)(1in例 设系统 L 由两个相互独立的子系统L1,L2 联接而成，联接的方式分别为(i) 串联，(ii)并联，(iii)备用（当系统 L1 损坏时，系统 L2 开始工作） ，如图所示。设 L1,L2 的寿命分别为 X 与 Y，已知它们的概率密度分别为 0)(xexfX)(yyfY其中 0， 0 且 。试分别就以上三种联结方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度解：(i)串联的情况由于当 L1,L2 中有一个损坏时，系统 L 就停止工作，所以 L 的寿命为Z=min(X,Y)； 而 X,Y
8、的分布函数分别为： 0,1)(xexFX,)(yyY故 Z 的分布函数为： 0,0,1)()(minzezF于是 Z 的概率密度为： 0,0,)()(min zezf 即 Z 仍服从指数分布。(ii)并联的情况由于当且仅当 L1,L2 都损坏时，系统 L 才停XYL12XYL21xxxXXedefF1)()()(00zYXezFzF)(min1)()(止工作，所以这时 L 的寿命为Z=max(X,Y)Z 的分布函数为： 0,0),1)()(max zezFz于是 Z 的概率密度为 0,0,)()( )(max zeezf zz (iii)备用的情况由于这时当系统 L1 损坏时，系统 L2 才开始工作，因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1,L2 寿命之和，即Z=X+Y于是， dxzfxzfYXZ)()(当且仅当即 时，0,xzzx以上积分的被积函数不等于零，因此，当 时， ;z0)(zfZ当 ，0zzzxzzxYXZedff 0)()()(即 0,0,)( zezf zzZ)()(maxzFzYXzzzzzz eed)()(11zzzzzxzzzxzxYXZeeedeff 1)()()(0)(0)(0
