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1、自动控制原理,1,研究内容： 1. 根轨迹的基本概念 2. 根轨迹的绘制方法 3. 运用闭环特征方程根的分布来估算系统的性能,第一节 根轨迹的基本概念,第四章 线性系统的根轨迹法,为了避免直接求解高阶系统特征根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种图解法根轨迹法。,自动控制原理,2,例:绘制二阶系统的根轨迹,开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。,根轨迹的定义:开环传递函数的某一个参数从零变化 到无穷大时，闭环特征根在 S 平面上 的轨迹称为根轨迹。,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,3,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,4,动态性能： 由K值变化所
2、对应的闭环极点分布来估计。,稳定性： 考察根轨迹是否进入右半 S平面。,根轨迹与系统性能,稳态性能： 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为I型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许位置。,自动控制原理,5,根轨迹法: 从闭环系统的开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹的方法。,设 控制系统如图所示,闭环极点与开环零、极点之间的关系,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,6,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,7,第一节 根轨迹的基本概念,开环传递函数,闭环传递函数,开环传递函数分母+开环传递函数分子,自动控
3、制原理,8,根轨迹法的任务：由已知的开环零点、极点和根轨迹增益Kr变化（0），用图解方法确定闭环极点。,结论：,闭环极点(特征根)与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,9,由闭环传递函数,当,求出相应的根，就可以在S平面上绘制出根轨迹。,根轨迹方程,根轨迹方程,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,10,根轨迹方程可以进一步表示为,幅角条件（相角条件）,幅值条件（模值条件）：,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,11,模值条件:,如果没有开环零点:,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,12,表示由开环零、极点指向轨迹点的向量的方位角。,第一
4、节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,13,第二节 根轨迹绘制的基本法则,常规根轨迹：可变参数为根轨迹增益,相角条件： 180o根轨迹,法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性,根轨迹分支数：等于m和n的最大值,根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也 连续变化。 关于实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为 实 数或共轭复数。,自动控制原理,14,法则2：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,简要证明：,又从,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,15,第二节 根轨迹绘制的基本法则,所以可以得出结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 若开环极点数n大于开环
5、零点数m，起始于开环极点的n条根轨迹将会有m条终止于m个开环零点。另外n-m条根轨迹终止于哪里呢？（终止无穷远处）我们将会在法则4里找到答案。,自动控制原理,16,法则3：实轴上的根轨迹 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。,由相角条件,4-2 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,17,法则4时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无穷远处。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。,第二节 根轨迹绘制的基本法则,设系统开环极点数n大于开环零点数m时，可以发现在S平面上的无穷远处，存在着满足根轨迹幅角条件的点。,根据幅角条件
6、有,自动控制原理,18,第二节 根轨迹绘制的基本法则,幅角为 的射线远端各点都满足幅角条件，如图4.5所示。这些射线的远端也称为系统的无限开环零点（当 时）。这些射线就是根轨迹的渐近线。,可以认为系统的(n-m)条根轨迹沿着(n-m)条渐近线趋于无限零点，渐近线与实轴的夹角 为,自动控制原理,19,例 设单位反馈系统的前向传递函数为,（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴,（1）,（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,20,与实轴夹角,与实轴交点,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,21,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,22,法
7、则5：根轨迹分离点 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或称会合点）。 分离点的坐标 d 由下列方程所决定：,分离角为：,如果没有开环零点：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,23,分离点,会合点,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,24,分离点,（舍去）,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,25,分离点的另外一种求法：,由于分离点为特征方程的重根：,联立方程组，消去 得：,为便于记忆，写为：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,26,解得：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,27,解（1）开环零点,例4.3 绘制图
8、示系统大致的根轨迹,根轨迹分支数为3条，有两条趋向于无穷远处。,（2）实轴上的根轨迹：,开环极点,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,28,（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点,（4）分离点,第二节 根轨迹绘制的基本法则,用试探法获得,自动控制原理,29,法则6：根轨迹与虚轴的交点 交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用劳斯判据或闭环特征方程（ ）确定。,将 代入闭环特征方程，得：,解出：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,30,例4.4 设单位负反馈控制系统开环传递函数：,试绘制该控制系统的根轨迹图。,（1）根轨迹起始于开环极点,无有限开环零点，三条根轨迹均终止于无穷远处
9、。,（2）实轴上的根轨迹线段为2，0，（，4。,（3）根轨迹的渐近线：有3条渐近线，与实轴交点和夹角分别为：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,31,（4）根轨迹的分离点： 由系统特征方程,得,解得,（不在实轴的根轨迹上，应舍去）,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,32,（5）根轨迹与虚轴的交点：,方法1：根轨迹与虚轴的交点可以通过将s=j代入特征方程,解得：,方法2：列劳斯表,解得：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,33,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,34,法则7：根轨迹的出射角和入射角 出射角(起始角)：根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴的夹
10、角 。,起始角180+各零点指向本极点的方向角 -其他极点指向本极点的方向角,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,35,终止角(入射角)：根轨迹进入开环复平面上开环复数零点处的切线与实轴的夹角。,终止角180-其他零点指向本零点的方向角 +各极点指向本零点的方向角,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,36,例3：设单位反馈系统的传递函数为,（1）一个开环零点，两个开环极点； 两条根轨迹分支；其中一条趋向于无穷远处。,试绘制闭环系统的根轨迹。,解:,（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2。,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,37,（3）会合点,(4)确定开环共
11、轭复数极点的出射角。,因为根轨迹对称于实轴，所以对应,的出射角,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,38,由两个极点（实极点或复数极点）和一个实零点组成的开环系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当根轨迹增益由零变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分，这个结论在数学上可以严格证明。,R,自动控制原理,39,例 设系统开环传递函数,试绘制闭环系统的大致根轨迹。,解：（1）该系统无开环零点，4个开环极点分别为 在实轴上的根轨迹：-3，0。,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,40,（3）分离点,首先判断d应该位于-3 -
12、1.25之间,（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,41,（5）与虚轴的交点运用劳斯判据,（4）起始角,列劳斯表：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,42,由劳斯表第一列、第四行元素为零，得：,解辅助方程,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,43,法则 8：闭环极点之和,设控制系统的闭环特征方程,n个根分别为：,根据特征方程根与系数的关系有：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,44,结论：若 n-m2 闭环极点之和 = 开环极点之和,若n-m2，对多项式进行降幂排列，有：,将上式展开得：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,中国矿业大学信电学院 常俊林,自动控制原理,45,-0.423,例4.6 计算该根轨迹图中分离点对应的根轨迹增益，并求出在该增益下的所有闭环极点。,解：根据模值条件,闭环极点之和 = 开环极点之和,第二节 根轨迹绘制的基本法则,
